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反常積分

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反常積分是指定積分，其積分限為無窮大或被積函式在積分範圍內的某一點或多點趨於無窮大。反常積分不能使用標準的黎曼積分計算。

例如，以下積分

int_1^inftyx^(-2)dx
(1)

是一個反常積分。某些此類積分有時可以透過用有限值替換無窮積分限來計算

int_1^yx^(-2)dx=1-1/y
(2)

然後取極限，當 y->infty,

int_1^inftyx^(-2)dx=lim_(y->infty)int_1^yx^(-2)dx
(3)
=lim_(y->infty)1-1/y
(4)
=1.
(5)

形式為反常積分

int_a^bf(x)dx
(6)

當一個積分限為無窮大，另一個非零時，也可以表示為變換函式上的有限積分。如果 f(x) 至少以 1/x^2 的速度減小，則令

t=1/x
(7)
dt=-(dx)/(x^2)
(8)
dx=-x^2dt
(9)
=-(dt)/(t^2),
(10)

和

int_a^bf(x)dx=-int_(1/a)^(1/b)1/(t^2)f(1/t)dt
(11)
=int_(1/b)^(1/a)1/(t^2)f(1/t)dt.
(12)

如果 f(x) 以 (x-a)^gamma 的形式發散，其中 gamma in [0,1] 中，則令

x=t^(1/(1-gamma))+a
(13)
dx=1/(1-gamma)t^((1/1-gamma)-1)dt
(14)
=1/(1-gamma)t^([1-(1-gamma)]/(1-gamma))dt
(15)
=1/(gamma-1)t^(gamma/(1-gamma))dt
(16)
t=(x-a)^(1-gamma),
(17)

和

int_a^bf(x)dx=1/(1-gamma)=int_0^((b-a)^(1-gamma))t^(gamma/(1-gamma))f(t^(1/(1-gamma))+a)dt.
(18)

如果 f(x) 以 (x+b)^gamma 的形式發散，其中 gamma in [0,1] 中，則令

x=b-t^(1/(1-gamma))
(19)
dx=-1/(gamma-1)t^(gamma/(1-gamma))dt
(20)
t=(b-x)^(1-gamma),
(21)

和

int_a^bf(x)dx=1/(1-gamma)
(22)
=int_0^((b-a)^(1-gamma))t^(gamma/(1-gamma))f(b-t^(1/(1-gamma)))dt.
(23)

如果積分呈指數發散，則令

t=e^(-x)
(24)
dt=-e^(-x)dx
(25)
x=-lnt,
(26)

和

int_a^inftyf(x)dx=int_0^(e^(-a))f(-lnt)(dt)/t.
(27)

另請參閱

定積分, 積分, 正常積分, 奇異積分

使用 探索

參考文獻

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Infinite and Improper Integrals." §1.104 in 數學物理方法，第 3 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 33-34, 1988.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Improper Integrals." §4.4 in FORTRAN 數值食譜：科學計算的藝術，第 2 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 135-140, 1992.

在 中被引用

反常積分

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. "反常積分。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/ImproperIntegral.html

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