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初等函式

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由常數函式、域運算（加法、乘法、除法和開方——基本運算）以及代數函式、指數函式和對數函式及其反函式透過有限次複合運算構造而成的函式（Shanks 1993, p. 145; Chow 1999）。最簡單的初等函式包括對數函式、指數函式（包括雙曲函式）、冪函式和三角函式。

根據 Liouville (1837, 1838, 1839) 的定義，Watson (1966, p. 111) 將初等超越函式定義為

l_1(z)=l(z)=ln(z)
(1)
e_1(z)=e(z)=e^z
(2)
sigma_1f(z)=sigmaf(z)=intf(z)dz,
(3)

並令 l_2=l(l(z)) 等。

並非所有函式都是初等函式。例如，正態分佈函式

Phi(x)=1/(sqrt(2pi))int_0^xe^(-t^2/2)dt
(4)
=1/2erf(x/(sqrt(2)))
(5)

就是一個著名的非初等函式的例子，其中 erf(x) 是 erf（有時稱為誤差函式）。橢圓積分

intsqrt(1-x^4)dx=1/3(xsqrt(1-x^4)+2F([sin^(-1)x]^2,-1)),
(6)

是另一個例子，其中 F(phi,k) 是第一類橢圓積分。

另請參見

代數函式, 基本運算, Liouville 原理, Risch 演算法, 特殊函式, 對稱多項式, 超越函式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/

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參考文獻

Bronstein, M. Symbolic Integration I: Transcendental Functions. New York: Springer-Verlag, 1997.Chow, T. Y. "What is a Closed-Form Number." Amer. Math. Monthly 106, 440-448, 1999.Geddes, K. O.; Czapor, S. R.; and Labahn, G. "Elementary Functions." §12.2 in Algorithms for Computer Algebra. Amsterdam, Netherlands: Kluwer, pp. 512-519, 1992.Hardy, G. H. Orders of Infinity: The 'infinitarcalcul' of Paul Du Bois-Reymond, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1924.Knopp, K. "The Elementary Functions." §23 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 96-98, 1996.Liouville, J. "Sur la classification des Transcendantes et sur l'impossibilité d'exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1." J. Math. pure appl. 2, 56-105, 1837.Liouville, J. "Sur la classification des Transcendantes et sur l'impossibilité d'exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2." J. Math. pure appl. 3, 523-547, 1838.Liouville, J. "Sur l'integration d'une classe d'Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites." J. Math. pure appl. 4, 423-456, 1839.Marchisotto, E. A. and Zakeri, G.-A. "An Invitation to Integration in Finite Terms." College Math. J. 25, 295-308, 1994.Ritt, J. F. "Elementary Functions and Their Inverses." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 68-90, 1925.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.Trott, M. "Elementary Transcendental Functions." §2.2.3 in The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 164-171, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 111, 1966.Zoładek, H. "Two Remarks About Picard-Vessiot Extensions and Elementary Functions. Dedicated to the Memory of Anzelm Iwanik." Colloq. Math. 84/85, 173-183, 2000.

在 上被引用

初等函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "初等函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ElementaryFunction.html

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