分數階積分

記 階導數為 derivative ，n 重積分為 integral 。那麼

(1)

現在，如果等式

(2)

對於多重積分對於 成立，那麼

			(3)
			(4)

交換積分順序得到

(5)

但是 (3) 對於 成立，因此透過 induction 歸納法對於所有 也成立。階數為 的 的分數階積分可以定義為

(6)

其中 是 gamma function 伽瑪函式。

更一般地，分數階積分的 Riemann-Liouville operator Riemann-Liouville 運算元定義為

(7)

對於 ，其中 (Oldham and Spanier 1974, Miller and Ross 1993, Srivastava and Saxena 2001, Saxena 2002)。

1/2 階的分數階積分稱為 semi-integral 半積分。

很少有函式的分數階積分可以用 elementary functions 初等函式表示。例外包括

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其中 是下 incomplete gamma function 不完全伽瑪函式， 是 Et-function Et 函式。從 (10) 式，常數函式 constant function 的分數階積分由下式給出

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分數階導數也可以類似地定義。對分數階導數和積分的研究稱為 fractional calculus 分數階微積分。