Riesz-Fischer 定理

在分析學中，短語“Riesz-Fischer 定理”用於描述關於 L-p 空間中柯西序列收斂的若干結果。該定理以數學家 Frigyes Riesz 和 Ernst Fischer 的名字命名，他們在 1907 年獨立發表了關於 特例的基礎性結果。

在其最常用的形式中，Riesz-Fischer 定理指出，對於 ，空間 對於所有測度空間 都是（序列）完備的，即 中函式的每個柯西序列都收斂到 函式 。然而，此陳述比 Riesz 和 Fischer 發表的原始結果更為通用，因為 Riesz 的結果將實數的平方可和序列的收斂性與 中的正交系聯絡起來，而 Fischer 的結果證明了（使用更陳舊的術語和符號）對於 中的任何柯西序列， 收斂到一個函式 。

值得注意的是，上述陳述甚至可以新增更多的通用性。例如，已知 對於 也是完備的。此外，給定一個函式的內積空間 和 中的正交歸一集 ，上述定理可以推廣以表明 的序列完備性（即， 是一個 希爾伯特空間）意味著對於每個具有有限 範數的平方可和序列，都存在一個極限函式 。儘管不那麼常見，但這兩個事實都可以被認為是 Riesz-Fischer 定理的一部分。

還值得注意的是，短語“Riesz-Fischer 定理”有時用於看起來與上述完全不同的結果。例如，由於 在傅立葉級數研究中發揮的作用，因此在文獻中看到將關於平方可積函式收斂性的各種傅立葉理論結果歸因於 Riesz 和 Fischer 並不罕見。在某些情況下，特別是在較舊的文獻中，看到許多關於賦範 線性和內積空間看似不相關的事實也被歸因於 Riesz 和 Fischer，這一事實有時可歸因於實際定理與其許多推論之間的細微聯絡。