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向量球諧函式

球諧函式可以透過尋找一個標量函式 psi 和一個常向量 c 來推廣到向量球諧函式，使得

M=del x(cpsi)
(1)
=psi(del xc)+(del psi)xc
(2)
=(del psi)xc
(3)
=-cxdel psi,
(4)

所以

del ·M=0.
(5)

現在交換微分的順序，並利用乘法常數可以在導數內外移動的事實，得到

del ^2M=del ^2(cxpsi)
(6)
=del xdel ^2(cpsi)
(7)
=del x(cdel ^2psi)
(8)

和

k^2M=k^2del x(cpsi)
(9)
=del x(ck^2psi).
(10)

將它們放在一起得到

del ^2M+k^2M=del x[c(del ^2psi+k^2psi)],
(11)

所以如果 psi 滿足標量亥姆霍茲微分方程，則 M 滿足向量亥姆霍茲微分方程

del ^2psi+k^2psi=0.
(12)

構造另一個向量函式

N=(del xM)/k,
(13)

它也滿足向量亥姆霍茲微分方程，因為

del ^2N=1/kdel ^2(del xM)
(14)
=1/kdel x(del ^2M)
(15)
=1/kdel x(-k^2M)
(16)
=-kdel xM
(17)
=-k^2N,
(18)

這給出

del ^2N+k^2N=0.
(19)

我們有附加的恆等式

del xN=1/kdel x(del xM)
(20)
=1/kdel (del ·M)-1/kdel ·(del M)
(21)
=-1/kdel ·(del M)
(22)
=-(del ^2M)/k
(23)
=kM.
(24)

在這種形式主義中，psi 被稱為生成函式，c 被稱為引導向量。生成函式的選擇由標量方程的對稱性決定，即選擇它來求解所需的標量微分方程。如果 M 取為

M=del x(rpsi),
(25)

其中 r 是半徑向量，那麼 M 是球座標中向量波動方程的解。如果我們想要與半徑向量相切的向量解，

M·r=r·(del psixc)
(26)
=(del psi)·(cxr)
(27)
=0,
(28)

所以

cxr=0
(29)

我們可以取

c=r
(30)

(Arfken 1985, pp. 707-711; Bohren and Huffman 1983, p. 88)。

有許多慣例正在使用。Hill（1954）定義

V_l^m=-sqrt((l+1)/(2l+1))Y_l^mr^^+1/(sqrt((l+1)(2l+1)))(partialY_l^m)/(partialtheta)theta^^+(iMsintheta)/(sqrt((l+1)(2l+1)))Y_l^mphi^^
(31)
W_l^m=sqrt(l/(2l+1))Y_l^mr^^+1/(sqrt(l(2l+1)))(partialY_l^m)/(partialtheta)theta^^+(iM)/(sqrt(l(2l+1))sintheta)Y_l^mphi^^
(32)
X_l^m=-M/(sqrt(l(l+1))sintheta)Y_l^mtheta^^-i/(sqrt(l(l+1)))(partialY_l^m)/(partialtheta)phi^^.
(33)

Morse 和 Feshbach (1953) 定義了被稱為 B、C 和 P 的向量諧波，使用了相當複雜的表示式。

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參考文獻

Arfken, G. "向量球諧函式。" §12.11 在 物理學家的數學方法，第 3 版。 奧蘭多，佛羅里達州：學術出版社，pp. 707-711, 1985.Blatt, J. M. 和 Weisskopf, V. "向量球諧函式。" 附錄 B，§1 在 理論核物理。 紐約：Wiley，pp. 796-799, 1952.Bohren, C. F. 和 Huffman, D. R. 小粒子對光的吸收和散射。 紐約：Wiley, 1983.Hill, E. H. "向量球諧函數理論。" Amer. J. Phys. 22, 211-214, 1954.Jackson, J. D. 經典電動力學，第 2 版。 紐約：Wiley，pp. 744-755, 1975.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理論物理方法，第二部分。 紐約：McGraw-Hill，pp. 1898-1901, 1953.

在 上引用

向量球諧函式

引用此內容為

Weisstein, Eric W. “向量球諧函式。” 來自 網路資源。https://mathworld.tw/VectorSphericalHarmonic.html

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