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Wigner 3j 符號

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Wigner 3j-符號 (j_1 j_2 j_3; m_1 m_2 m_3)，也稱為 “3j 符號”（Messiah 1962，第 1056 頁）或 Wigner 係數（Shore 和 Menzel 1968，第 275 頁），是在考慮兩個量子系統中耦合的角動量時出現的量。

它們由 Wolfram 語言 函式返回ThreeJSymbol[{j1, m1}, {j2, m2}, {j3, m3}]。

3j 符號 (j_1 j_2 J; m_1 m_2 -M) (其中 m_3 已被寫為 -M) 的引數要麼是整數，要麼是半整數。此外，它們滿足以下選擇規則（Messiah 1962，第 1054-1056 頁；Shore 和 Menzel 1968，第 272 頁）。

1. m_1 in {-|j_1|,...,|j_1|}, m_2 in {-|j_2|,...,|j_2|}, 並且 M in {-|J|,...,|J|}。

2. m_1+m_2=M.

3. 三角不等式 |j_1-j_2|<=J<=j_1+j_2。

4. 整數週長規則：j_1+j_2+J 是一個整數。

請注意，並非所有這些規則都是獨立的，因為規則 (4) 由其他三個規則隱含。如果這些條件不滿足，則 (j_1 j_2 J; m_1 m_2 -M)=0=0。

Wigner 3j-符號具有以下對稱性

(j_1 j_2 j; m_1 m_2 m)=(j_2 j j_1; m_2 m m_1)
(1)
=(j j_1 j_2; m m_1 m_2)
(2)
=(-1)^(j_1+j_2+j)(j_2 j_1 j; m_2 m_1 m)
(3)
=(-1)^(j_1+j_2+j)(j_1 j j_2; m_1 m m_2)
(4)
=(-1)^(j_1+j_2+j)(j j_2 j_1; m m_2 m_1)
(5)
=(-1)^(j_1+j_2+j)(j_1 j_2 j; -m_1 -m_2 -m)
(6)

(Messiah 1962，第 1056 頁)。

3j-符號可以使用 Racah 公式計算

(a b c; alpha beta gamma)=(-1)^(a-b-gamma) ×sqrt(Delta(abc))sqrt((a+alpha)!(a-alpha)!(b+beta)!(b-beta)!(c+gamma)!(c-gamma)!) ×sum_(t)((-1)^t)/x
(7)

其中 Delta(abc) 是一個 三角係數，

x=t!(c-b+t+alpha)!(c-a+t-beta)!(a+b-c-t)!×(a-t-alpha)!(b-t+beta)!,
(8)

並且總和是對所有整數 t 求和，對於這些整數，f(t) 中的階乘都具有非負引數（Messiah 1962，第 1058 頁；Shore 和 Menzel 1968，第 273 頁）。 特別是，項數等於 nu+1，其中 nu 是九個數字中最小的數

a+/-alpha b+/-beta c+/-gamma; a+b-c b+c-a c+a-b
(9)

(Messiah 1962，第 1058 頁)。

這些符號服從正交關係

sum_(j,m)(2j+1)(j_1 j_2 j; m_1 m_2 m)(j_1 j_2 j; m_1^' m_2^' m)=delta_(m_1m_1^')delta_(m_2m_2^')
(10)
sum_(m_1,m_2)(2j+1)(j_1 j_2 j; m_1 m_2 m)(j_1 j_2 j^'; m_1 m_2 m^')=delta_(jj^')delta_(mm^'),
(11)

其中 delta_(ij) 是 Kronecker delta。

一般公式非常複雜，但一些特定情況是

(l l 0; m -m 0)=((-1)^(l-m))/(sqrt(2l+1))
(12)
(j_1 j_2 j_1+j_2; m_1 m_2 -M)=(-1)^(j_1-j_2+M)[((2j_1)!(2j_2)!)/((2j_1+2j_2+1)!)((j_1+j_2+M)!(j_1+j_2-M)!)/((j_1+m_1)!(j_1-m_1)!(j_2+m_2)!(j_2-m_2)!)]^(1/2)
(13)
(j_1 j_2 j; j_1 -j_1 -m)=(-1)^(-j_1+j_2+m)[((2j_1)!(-j_1+j_2+j)!)/((j_1+j_2+j+1)!(j_1-j_2+j)!)((j_1+j_2+m)!(j-m)!)/((j_1+j_2-j)!(-j_1+j_2-m)!(j+m)!)]^(1/2)
(14)
(j_1 j_2 j; 0 0 0)={(-1)^gsqrt(((2g-2j_1)!(2g-2j_2)!(2g-2j)!)/((2g+1)!))(g!)/((g-j_1)!(g-j_2)!(g-j)!) if J=2g; 0 if J=2g+1,
(15)

對於 J=j_1+j_2+j (Condon 和 Shortley 1951，第 76-77 頁；Messiah 1962，第 1058-1060 頁；Shore 和 Menzel 1968，第 275 頁；Abramowitz 和 Stegun 1972，第 1006-1010 頁)。

對於球諧函式 Y_l^m(theta,phi)，

Y_(l_1)^(m_1)(theta,phi)Y_(l_2)^(m_2)(theta,phi)=sum_(l,m)sqrt(((2l_1+1)(2l_2+1)(2l+1))/(4pi))(l_1 l_2 l; m_1 m_2 m)Y^__l^m(theta,phi)(l_1 l_2 l; 0 0 0).
(16)

對於服從 三角條件 Delta(l_1l_2l_3) 的 l_3 值，

intY_(l_1)^(m_1)(theta,phi)Y_(l_2)^(m_2)(theta,phi)Y_(l_3)^(m_3)(theta,phi)sinthetadthetadphi =sqrt(((2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1))/(4pi))(l_1 l_2 l_3; 0 0 0)(l_1 l_2 l_3; m_1 m_2 m_3)
(17)

和

1/2intP_(l_1)(costheta)P_(l_2)(costheta)P_(l_3)(costheta)sinthetadtheta=(l_1 l_2 l_3; 0 0 0)^2.
(18)

它們可以使用相關的 Clebsch-Gordan 係數 C_(m_1m_2)^j=(j_1j_2m_1m_2|j_1j_2jm) (Condon 和 Shortley 1951，第 74-75 頁；Wigner 1959，第 206 頁) 或 Racah V 係數 V(j_1j_2j;m_1m_2m) 表示。

Wigner 3j 符號、Clebsch-Gordan 符號和 Racah V-符號之間的聯絡由下式給出

(j_1j_2m_1m_2|j_1j_2jm)=(-1)^(m+j_1-j_2)sqrt(2j+1)(j_1 j_2 j; m_1 m_2 -m)
(19)
(j_1j_2m_1m_2|j_1j_2jm)=(-1)^(j+m)sqrt(2j+1)V(j_1j_2j;m_1m_2-m)
(20)
V(j_1j_2j;m_1m_2m)=(-1)^(-j_1+j_2+j)(j_1 j_2 j_1; m_2 m_1 m_2).
(21)

另請參閱

Clebsch-Gordan 係數, Racah V 係數, Racah W 係數, Wigner 6j 符號, Wigner 9j 符號

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/ThreeJSymbol/

使用 探索

參考資料

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Vector-Addition Coefficients." §27.9 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1006-1010, 1972.Biedenharn, L. C. 和 Louck, J. D. The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Biedenharn, L. C. 和 Louck, J. D. Angular Momentum in Quantum Physics: Theory and Applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Condon, E. U. 和 Shortley, G. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1951.de Shalit, A. 和 Talmi, I. Nuclear Shell Theory. New York: Academic Press, 1963.Edmonds, A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd ed., rev. printing. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1968.Gordy, W. 和 Cook, R. L. Microwave Molecular Spectra, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 804-811, 1984.Messiah, A. "Clebsch-Gordan (C.-G.) Coefficients and '3j' Symbols." Appendix C.I in Quantum Mechanics, Vol. 2. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 1054-1060, 1962.Racah, G. "Theory of Complex Spectra. II." Phys. Rev. 62, 438-462, 1942.Rose, M. E. Elementary Theory of Angular Momentum. New York: Dover, 1995.Rotenberg, M.; Bivens, R.; Metropolis, N.; 和 Wooten, J. K. The 3j and 6j Symbols. Cambridge, MA: MIT Press, 1959.Shore, B. W. 和 Menzel, D. H. Principles of Atomic Spectra. New York: Wiley, pp. 275-276, 1968.Sobel'man, I. I. "Angular Momenta." Ch. 4 in Atomic Spectra and Radiative Transitions, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Wigner, E. P. Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, expanded and improved ed. New York: Academic Press, 1959.

在 中引用

Wigner 3j 符號

引用為

Weisstein, Eric W. "Wigner 3j-Symbol." 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/Wigner3j-Symbol.html

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