Wigner 9j 符號 -- 來自

維格納 -符號是克萊佈施-戈登係數以及維格納 3j- 和 6j-符號的推廣，它出現在四個角動量的耦合中。它們可以用維格納 3j- 和維格納 6j-符號表示。

設張量算符和分別作用於子系統 1 和 2。那麼，這兩個不可約算符的乘積在耦合表示中的約化矩陣元由未耦合表示中各個算符的約化矩陣元給出：

$(tau^'tau_1^'j_1^'tau_2^'j_2^'J^'∥[T^((k_1))×U^((k_2))]^((k))∥tautau_1j_1tau_2j_2J) =sqrt((2J+1)(2J^'+1)(2k+1))sum_(tau^('')){j_1^' j_1 k_1; j_2^' j_2 k_2; J^' J k} ×(tau^'tau_1^'j_1^'∥T^((k_1))∥tau^('')tau_1j_1)(tau^('')tau_2^'j_2^'∥U^((k_2))∥tautau_2j_2),$

(1)

其中 ${j_1^' j_1 k_1; j_2^' j_2 k_2; J^' J k}$ 是一個維格納 -符號 (Gordy and Cook 1984)。

用 -符號表示：

$(J_(13) J_(24) J; M_(13) M_(24) M){j_1 j_2 J_(12); j_3 j_4 J_(34); J_(13) J_(24) J} =sum_(m_1,m_2,m_3,m_4; M_(12),M_(34))(j_1 j_2 J_(12); m_1 m_2 M_(12))×(j_3 j_4 J_(34); m_3 m_4 M_(34))(j_1 j_3 J_(13); m_1 m_3 M_(13))×(j_2 j_4 J_(24); m_2 m_4 M_(24))(J_(12) J_(34) J; M_(12) M_(34) M)$

(2)

（Messiah 1962, p. 1067; Shore and Menzel 1968, pp. 282-283）。

用 -符號表示：

${j_1 j_2 J_(12); j_3 j_4 J_(34); J_(13) J_(24) J}=sum_(g)(-1)^(2g)(2g+1)×{j_1 j_2 J_(12); J_(34) J g}{j_3 j_4 J_(34); j_2 g J_(24)}{J_(13) J_(24) J; g j_1 j_3}$

(3)

（Messiah 1962, p. 1067; Shore and Menzel 1968, p. 282）。

一個 -符號 ${J_1 J_2 J_3; J_4 J_5 J_6; J_7 J_8 J_9}$ 在透過對角線之一反射下是不變的，並且在交換兩行或兩列時乘以，其中 (Messiah 1962, p. 1067)。它也滿足正交關係

$sum_(J_(13),J_(24))(2J_(13)+1)(2J_(24)+1){j_1 j_2 J_(12); j_3 j_4 J_(34); J_(13) J_(24) J}×{j_1 j_2 J_(12)^'; j_3 j_4 J_(34)^'; J_(13) J_(24) J}=(delta_(J_(12))delta_(J_(12)^')delta_(J_(34))delta_(J_(34)^'))/((2J_(12)+1)(2J_(34)+1))$

(4)

（Messiah 1962, p. 1067）。

顯式公式包括

		$((-1)^(b+c+J+K))/(sqrt((2J+1)(2K+1))){a b J; d c K}$	(5)
		$({S L J; L S 1}{J L S; L J 1})/(5{2 L L; L 1 1})+((-1)^(S+L+J+1))/(15(2L+1))({S J L; J S 1})/({2 L L; L 1 1})$	(6)
		$(-1)^S{a c b; d f e; G I H}$	(7)
		$(-1)^S{d e F; a b C; G H I}$	(8)