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Wigner 6j 符號

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Wigner 6j-符號（Messiah 1962, p. 1062），通常簡稱為 6j-符號，是 Clebsch-Gordan 係數 和 Wigner 3j-符號 的推廣，它們出現在三個角動量的耦合中。它們也被稱為 “6j 符號”（Messiah 1962, p. 1062）或 6-j 符號（Shore 和 Menzel 1968, p. 279）。

Wigner 6j-符號由 Wolfram 語言 函式返回SixJSymbol[{j1, j2, j3}, {j4, j5, j6}].

設張量算符 T^((k)) 和 U^((k)) 分別作用於系統 1 和系統 2 的子系統，其中子系統 1 以角動量 j_1 為特徵，子系統 2 以角動量 j_2 為特徵。那麼，這兩個張量算符在耦合基 J=j_1+j_2 中標量積的矩陣元素由下式給出

(tau_1^'j_1^'tau_2^'j_2^'J^'M^'|T^((k))·U^((k))|tau_1j_1tau_2j_2JM) =delta_(JJ^')delta_(MM^')(-1)^(j_1+j_2^'+J){J j_2^' j_1^'; k j_1 j_2}(tau_1^'j_1^'||T^((k))||tau_1j_1)(tau_2^'j_2^'||U^((k))||tau_2j_2),
(1)

其中 {J j_2^' j_1^'; k j_1 j_2} 是 Wigner 6j-符號，而 tau_1 和 tau_2 代表表徵子系統 1 和子系統 2 的其他相關量子數 (Gordy and Cook 1984)。

6j 符號表示為 {j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3} ，併為整數和半整數 j_1、j_2、j_3、J_1、J_2、J_3 定義，它們的陣列 (j_1j_2j_3)、(j_1J_2J_3)、(J_1j_2J_3) 和 (J_1J_2j_3) 滿足以下條件（Messiah 1962, p. 1063）。

1. 每個陣列都滿足三角不等式。

2. 每個陣列的元素之和為整數。因此，每個陣列的成員要麼都是整數，要麼包含兩個半整數和一個整數。

如果這些條件不滿足，則 {j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3}=0。

6j-符號在其列的排列下是不變的，例如，

{j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3}={j_2 j_1 j_3; J_2 J_1 J_3}
(2)

以及在行之間交換兩個對應元素的情況下，例如，

{j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3}={J_1 J_2 j_3; j_1 j_2 J_3}
(3)

(Messiah 1962, pp. 1063-1064)。

6j-符號可以使用拉卡公式計算

{j_1 j_2 j_3; J_1 J_2 J_3} =sqrt(Delta(j_1j_2j_3)Delta(j_1J_2J_3)Delta(J_1j_2J_3)Delta(J_1J_2j_3))×sum_(t)((-1)^t(t+1)!)/(f(t)),
(4)

其中 Delta(abc) 是三角形係數，

f(t)=(t-j_1-j_2-j_3)!(t-j_1-J_2-J_3)!(t-J_1-j_2-J_3)!(t-J_1-J_2-j_3)!(j_1+j_2+J_1+J_2-t)!(j_2+j_3+J_2+J_3-t)!(j_3+j_1+J_3+J_1-t)!,
(5)

總和是對所有整數 t 進行的，對於這些整數，f(t) 中的階乘都具有非負引數 (Wigner 1959；Messiah 1962, p. 1065；Shore 和 Menzel 1968, p. 279)。特別是，項數等於 sigma+1，其中 sigma 是十二個數字中最小的

j_1+j_2-j_3 j_1+J_2-J_3 J_1+j_2-J_3 J_1+J_2-j_3; j_2+j_3-j_1 J_2+J_3-j_1 j_2+J_3-J_1 J_2+j_3-J_1; j_3+j_1-j_2 J_3+j_1-J_2 J_3+J_1-j_2 j_3+J_1-J_2
(6)

(Messiah 1962, p. 1064)。

6j 符號滿足所謂的拉卡-埃利奧特和正交關係，

sum_(x)(-1)^(2x)(2x+1){a b x; a b f}=1
(7)
sum_(x)(-1)^(a+b+x)(2x+1){a b x; b a f}
(8)
=delta_(fa)sqrt((2a+1)(2b+1))
(9)
sum_(x)(2x+1){a b x; c d f}{c d x; a b g}=(delta_(fg))/(2f+1)
(10)
sum_(x)(-1)^(f+g+x)(2x+1){a b x; c d f}{c d x; b a g}
(11)
={a d f; b c g}
(12)
sum_(x)(-1)^(a+b+c+d+e+f+g+h+x+j)(2x+1){a b x; c d g}×{c d x; e f h}{e f x; b a j}
(13)
={j h j; e a d}{g h j; f b c}
(14)

(Messiah 1962, p. 1065)。

Edmonds (1968) 給出了簡單情況下 6j-符號的解析形式，Shore 和 Menzel (1968) 以及 Gordy 和 Cook (1984) 給出了

{a b c; 0 c b}=((-1)^s)/(sqrt((2b+1)(2c+1)))
(15)
{a b c; 1 c b}=(2(-1)^(s+1)X)/(sqrt(2b(2b+1)(2b+2)2c(2c+1)(2c+2)))
(16)
{a b c; 2 c b}=(2(-1)^s[3X(X-1)-4b(b+1)c(c+1)])/(sqrt((2b-1)2b(2b+1)(2b+2)(2b+3)(2c-1)2c(2c+1)(2c+2)(2c+3))),
(17)

公式

s=a+b+c
(18)
X=b(b+1)+c(c+1)-a(a+1)
(19)

(Edmonds 1968；Shore 和 Menzel 1968, p. 281；Gordy 和 Cook 1984, p. 809)。請注意，由於 a+b+c 必須是整數，因此 (-1)^s=(-1)^(-s)，因此用其負值替換上述 s 的定義會得到等效的結果。

Messiah (1962, p. 1066) 給出了其他特殊情況

{j j+1/2 1/2; J J+1/2 g+1/2}=((-1)^(1+g+j+J))/2sqrt(((1-g+j+J)(2+g+j+J))/((2j+1)(j+1)(2J+1)(J+1)))
(20)
{j j+1/2 1/2; J+1/2 J g}=((-1)^(1+g+j+J))/2sqrt(((1-g+j+J)(2+g+j+J))/((2j+1)(j+1)(2J+1)(J+1)))
(21)

對於 |j-J|<=g<=j+J。

Wigner 6j-符號透過下式與 Racah W 係數相關

(-1)^(a+b+c+d)W(abcd;ef)={a b c; d e f}
(22)

(Messiah 1962, p. 1062；Shore 和 Menzel 1968, p. 279)。

另請參閱

克萊佈施-戈爾丹係數, 拉卡 V 係數, 拉卡 W 係數, 三角形係數, Wigner 3j 符號, Wigner 9j 符號

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/SixJSymbol/

使用 探索

參考文獻

Biedenharn, L. C. 和 Louck, J. D. 量子理論中的 Racah-Wigner 代數。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Biedenharn, L. C. 和 Louck, J. D. 量子物理學中的角動量：理論與應用。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1981.Carter, J. S.; Flath, D. E.; 和 Saito, M. 經典和量子 6j 符號。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.Edmonds, A. R. 量子力學中的角動量，第二版，修訂版。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1968.Gordy, W. 和 Cook, R. L. 微波分子光譜學，第三版。 New York: Wiley, pp. 807-809, 1984.Messiah, A. "Racah 係數和 '6j' 符號。" Appendix C.II in 量子力學，第二卷。 Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 567-569 和 1061-1066, 1962.Racah, G. "複雜光譜理論。 II." Phys. Rev. 62, 438-462, 1942.Rotenberg, M.; Bivens, R.; Metropolis, N.; 和 Wooten, J. K. 3j 和 6j 符號。 Cambridge, MA: MIT Press, 1959.Shore, B. W. 和 Menzel, D. H. 原子光譜原理。 New York: Wiley, pp. 279-284, 1968.Wigner, E. P. 群論及其在原子光譜量子力學中的應用，擴充套件和改進版。 New York: Academic Press, 1959.

在 中被引用

Wigner 6j 符號

請引用為

Weisstein, Eric W. "Wigner 6j 符號。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Wigner6j-Symbol.html

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