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留數定理

一個 解析函式 f(z)，其 洛朗級數 由下式給出

f(z)=sum_(n=-infty)^inftya_n(z-z_0)^n,
(1)

可以使用圍繞 圍道 gamma 閉合的 z_0 逐項積分：

int_gammaf(z)dz=sum_(n=-infty)^(infty)a_nint_gamma(z-z_0)^ndz
(2)
=sum_(n=-infty)^(-2)a_nint_gamma(z-z_0)^ndz+a_(-1)int_gamma(dz)/(z-z_0)+sum_(n=0)^(infty)a_nint_gamma(z-z_0)^ndz.
(3)

柯西積分定理 要求第一項和最後一項消失，因此我們有

int_gammaf(z)dz=a_(-1)int_gamma(dz)/(z-z_0),
(4)

其中 a_(-1) 是復留數。使用 圍道 z=gamma(t)=e^(it)+z_0 得到

int_gamma(dz)/(z-z_0)=int_0^(2pi)(ie^(it)dt)/(e^(it))=2pii,
(5)

因此我們有

int_gammaf(z)dz=2piia_(-1).
(6)

如果圍道 gamma 包圍多個極點，則該定理給出一般結果

int_gammaf(z)dz=2piisum_(a in A)Res_(z=a_i)f(z),
(7)

其中 A 是包含在圍道內的極點集合。因此，這個驚人的定理表明，複平面中任何圍道的圍道積分的值僅取決於圍道內幾個非常特殊的點的性質。

ResidueTheorem

上圖顯示了留數定理應用於所示圍道 gamma 和函式的示例

f(z)=3/((z-1)^2)+2/(z-i)-2/(z+i)+i/(z+3-2i)+5/(z+1+2i).
(8)

只有極點 1 和 i 包含在圍道內，它們的留數分別為 0 和 2。因此，圍道積分的值由下式給出

int_gammaf(z)dz=2pii(0+2)=4pii.
(9)

另請參閱

柯西積分公式, 柯西積分定理, 復留數, 圍道, 圍道積分, 圍道積分法, 群留數定理, 洛朗級數, 極點

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參考文獻

Knopp, K. "The Residue Theorem." §33 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 129-134, 1996.Krantz, S. G. "The Residue Theorem." §4.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 48-49, 1999.

在 中被引用

留數定理

請引用為

Weisstein, Eric W. "Residue Theorem." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/ResidueTheorem.html

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