輪廓積分是在複平面內，沿著給定輪廓計算輪廓積分值的過程。由於全純函式的一個非常神奇的性質，這些積分可以很容易地透過簡單地求和輪廓內部的復殘數的值來計算。
設 
和 
是多項式，其多項式次數分別為 
和 
，係數分別為 
, ..., 
和 
, ..., 
。取輪廓在上半平面，將 
替換為 
，並寫成 
。然後
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(1)
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定義一條路徑 
，它沿著實軸從 
到 
直線，並做一個半圓弧連線複平面上半部分的兩個端點。留數定理給出
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(2)
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(3)
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 |  | ![2piisum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))],](/images/equations/ContourIntegration/Inline23.svg) |
(4)
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其中 ![Res[z]](/images/equations/ContourIntegration/Inline24.svg)
表示復殘數。解得，
![lim_(R->infty)int_(-R)^R(P(z)dz)/(Q(z))=2piisum_(I[z]>0)Res(P(z))/(Q(z))-lim_(R->infty)int_0^pi(P(Re^(itheta)))/(Q(Re^(itheta)))iRe^(itheta)dtheta.](/images/equations/ContourIntegration/NumberedEquation2.svg) |
(5)
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定義
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(6)
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(7)
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(8)
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(9)
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並設
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(10)
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那麼方程 (9) 變為
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(11)
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現在，
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(12)
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對於 
。這意味著對於 
，或 
，
，所以
![int_(-infty)^infty(P(z)dz)/(Q(z))=2piisum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))]](/images/equations/ContourIntegration/NumberedEquation6.svg) |
(13)
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對於 
。應用 若爾當引理，其中 
。我們必須有
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(14)
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所以我們要求 
。
那麼
![int_(-infty)^infty(P(z))/(Q(z))e^(iaz)dz=2piisum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))e^(iaz)]](/images/equations/ContourIntegration/NumberedEquation8.svg) |
(15)
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對於 
和 
。由於這必須分別對實部和虛部成立，因此這個結果可以推廣到
![int_(-infty)^infty(P(x))/(Q(x))cos(ax)dx=2piR{sum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))e^(iaz)]}](/images/equations/ContourIntegration/NumberedEquation9.svg) |
(16)
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![int_(-infty)^infty(P(x))/(Q(x))sin(ax)dx=2piI{sum_(I[z]>0)Res[(P(z))/(Q(z))e^(iaz)]}.](/images/equations/ContourIntegration/NumberedEquation10.svg) |
(17)
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和 
之間取的某些型別的積分的評估"，"涉及正弦和餘弦的某些無窮積分" 和 "若爾當引理"。 §6.22-6.222 in