內-外定理

設 和 是復變數 的單變數多項式，且 多項式次數 滿足 和 滿足 。則

			(1)
			(2)

其中 是一個簡單的閉合順時針方向的輪廓， 是 在 內部的根的集合， 是 在 外部的根的集合。

第一個等式是留數定理的一個例項。在黎曼球面上，簡單的閉合輪廓 將球面分成兩個區域。在變數替換 之後，零點被對映到無窮遠，反之亦然。 的“內部”在新座標中變成了 的外部。第二個等式是應用於亞純一形式 在座標 上的留數定理，帶有一個負號，因為在座標變換後， 沿順時針方向移動。 和 的度數假設確保 在 處沒有極點。

上圖顯示了在黎曼球面上輪廓 和亞純一形式 的極點的兩種不同視角。通常的視角以 為中心，但從 的視角來看，內部和外部的角色被切換了。內部的極點標記為藍色，外部的極點標記為綠色。

該定理也來自在無窮遠處的輪廓積分，即一個大半徑 的圓。關於度數的假設表明，這個積分趨於零。因此它實際上必須為零，因為在某個點，圓包含了 的所有極點。這是在緊緻 黎曼曲面（在本例中為黎曼球面）上，亞純一形式的復留數之和為零這一事實的特殊情況。