大圓

大圓是 球體 的一個 截面，包含 球體 的一條 直徑 (Kern 和 Bland 1948, p. 87)。不包含直徑的球體截面稱為 小圓。大圓在 球面心射影 中變成一條直線 (Steinhaus 1999, pp. 220-221)。

球體上兩點之間的最短路徑，也稱為正程線，是大圓的一段。要找到位於 緯度 和 經度 的 和 兩點之間在 半徑 為 的 球體 上的大圓（測地線）距離，請使用以下公式將 球座標 轉換為 笛卡爾座標：

(1)

（請注意，緯度 與 餘緯度 的 球座標 的關係為 ，因此轉換為 笛卡爾座標 會將 和 分別替換為 和 。）現在找到 角度 在 和 之間使用 點積，

			(2)
			(3)
			(4)

大圓距離則為

(5)

對於地球，赤道 半徑 約為 千米，或 3963 英里（法定）。不幸的是，地球的 扁率 無法在這個簡單的推導中考慮，因為對於 球狀體 或 橢球體 來說，問題要複雜得多（每種球體或橢球體都有一個 半徑，它是 緯度 的函式）。這導致了 扁球體測地線 和其他 橢球體 上的 測地線 的極其複雜的表示式。

大圓的方程可以使用 測地線 形式主義顯式計算。透過寫入以下公式轉換為 球座標：

			(6)
			(7)

然後，偏導數 、 和 的組合由下式給出：

			(8)
			(9)
			(10)

測地線 微分方程變為：

(11)

然而，因為這是 的特殊情況，其中 和 是 的顯式函式，測地線 解採用特殊形式：

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)

（Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 174, eqn. 2.599.6），其中 和 是 積分常數。現在以更簡單的形式重寫：

(16)

重新排列，並取兩邊的正弦：

(17)

接下來，使用 三角加法公式 展開左側，並寫出 以獲得：

(18)

現在乘以 並重新排列以獲得：

(19)

這就是測地線的方程。

將每個項的第一部分識別為 笛卡爾座標 、、，分別（19）可以立即改寫為：

(20)

這表明，給出球體表面上兩點之間最短路徑的測地線位於一個 平面 上，該平面穿過所討論的兩點，也穿過 球體 的中心。