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點-點距離——三維

在歐幾里得空間 R^3 中，最小化兩點之間距離的曲線顯然是直線段。這可以使用變分法和所謂的尤拉-拉格朗日微分方程在數學上證明如下。線元在 R^3 中由下式給出

ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2),
(1)

因此，點 x_1 和 x_2 之間的弧長為

L=intds=int_(x_1)^(x_2)sqrt(1+y^'^2+z^('2))dx
(2)

我們正在最小化的量是

f=sqrt(1+y^'^2+z^('2)).
(3)

求導得到

(partialf)/(partialy)=0
(4)
(partialf)/(partialz)=0
(5)

和

(partialf)/(partialy^')=(y^')/(sqrt(1+y^('2)+z^('2)))
(6)
(partialf)/(partialz^')=(z^')/(sqrt(1+y^('2)+z^('2))),
(7)

因此，尤拉-拉格朗日微分方程變為

d/(dx)((y^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2))))=0
(8)
d/(dx)((z^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2))))=0.
(9)

這些給出

(y^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2)))=c_1
(10)
(z^')/(sqrt(1+y^'^2+z^('2)))=c_2.
(11)

取比率，

z^'=(c_2)/(c_1)y^'
(12)
(y^')/(sqrt(1+y^('2)+((c_2)/(c_1))^2y^('2)))=c_1
(13)
y^('2)=c_1^2[1+y^('2)+((c_2)/(c_1))^2y^('2)]=c_1^2+y^('2)(c_1^2+c_2^2),
(14)

得到

y^('2)=(c_1^2)/(1-c_1^2-c_2^2)=a_1^2
(15)
z^('2)=((c_2)/(c_1))^2y^('2)=(c_2^2)/(1-c_1^2-c_2^2)=b_1^2.
(16)

因此，y^'=a_1 和 z^'=b_1，所以解是

[x; y; z]=[x; a_1x+a_0; b_1x+b_0],
(17)

這是引數為 x in [x_1,x_2] 的直線的引數表示。驗證弧長得到

L=sqrt(1+a_1^2+b_1^2)(x_2-x_1)
(18)

其中

[y_1; y_2]=[x_1 1; x_2 1][a_1; a_0]
(19)
[z_1; z_2]=[x_1 1; x_2 1][b_1; b_0].
(20)

另請參閱

變分法, 圓三角形選取, 大圓, 線線選取, 點-點距離——二維, 點-二次距離, 球點選取

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參考文獻

Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 奧蘭多，佛羅里達州：學術出版社，第 930-931 頁，1985 年。

以此引用

韋斯坦因，埃裡克·W. “點-點距離——三維。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Point-PointDistance3-Dimensional.html

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