點-點距離--二維

在一般曲面的情況下，沿曲面測量的兩點之間的距離稱為測地線。例如，球面上兩點之間的最短距離是大球體的大圓弧。

在歐幾里得平面 中，最小化兩點之間距離的曲線顯然是直線段。這可以使用變分法和所謂的尤拉-拉格朗日微分方程在數學上證明如下。線元素在 中由下式給出

因此，兩點 和 之間的弧長為

其中 ，我們要最小化的量是

求導數得到

因此，尤拉-拉格朗日微分方程變為

積分並重新排列，

因此，解為

這是一條直線。現在驗證弧長確實是點之間的直線距離。 和 由下式確定

求解 和 得到

因此，距離是

正如預期的那樣。

對於具有精確三線座標 和 的兩點，它們之間的距離是

其中 是三角形的面積（Scott 1894；Carr 1970；Kimberling 1998，第 31 頁）。

球面上兩點之間的最短距離是所謂的大圓距離。