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拋物面測地線

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拋物面上的測地線

x=sqrt(u)cosv
(1)
y=sqrt(u)sinv
(2)
z=u
(3)

具有由以下定義的微分引數

P=((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2
(4)
=1+1/(4u)
(5)
Q=(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)
(6)
=1/(2sqrt(u))(cosv-sinv)
(7)
R=((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2
(8)
=u.
(9)

然後透過求解尤拉-拉格朗日微分方程給出測地線

((partialP)/(partialv)+2v^'(partialQ)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))-d/(du)((Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))))=0.
(10)

正如 Weinstock (1974) 給出的，解簡化為

u-c^2=u(1+4c^2)sin^2{v-2cln[k(2sqrt(u-c^2)+sqrt(4u+1))]}.
(11)

另請參閱

測地線

使用 探索

參考文獻

Weinstock, R. 變分法，及其在物理學和工程學中的應用。 New York: Dover, p. 45, 1974.

在 上引用

拋物面測地線

引用為

Weisstein, Eric W. “拋物面測地線。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ParaboloidGeodesic.html

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