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立方體點選取


立方體點選取是超立方體點選取的三維情況。

單位立方體內部隨機選取的點到中心的平均距離由下式給出

d^__(center)=int_(-1/2)^(1/2)int_(-1/2)^(1/2)int_(-1/2)^(1/2)sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz
(1)
=8int_0^(1/2)int_0^(1/2)int_0^(1/2)sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz
(2)
=1/8sqrt(3)-1/(48)pi-1/4ln2+1/2ln(1+sqrt(3))
(3)
=0.48029597....
(4)

類似地,從隨機選取的點到固定角點的平均距離由下式給出

d^__(corner)=B_3(1)
(5)
=2d^__(center)
(6)
=int_0^1int_0^1int_0^1sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz
(7)
=1/4sqrt(3)-1/(24)pi-1/2ln2+ln(1+sqrt(3))
(8)
=0.9605919...,
(9)

其中 B_n(s)B-盒積分

從單位立方體的中心到給定面的平均距離是

d^_=int_(-1/2)^(1/2)int_(-1/2)^(1/2)sqrt(x^2+y^2+1/4)dxdy
(10)
=8int_0^(1/2)int_0^ysqrt(x^2+y^2+1/4)dxdy
(11)
=1/3ln(2+sqrt(3))+1/6sqrt(3)-1/(36)pi
(12)
=0.640394...
(13)

(OEIS A097047)。


另請參閱

球體點選取, 立方體線選取, 超立方體點選取, 球體點選取, 正方形點選取, 單位立方體, 單位正方形積分

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參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "盒積分。" J. Comput. Appl. Math. 206, 196-208, 2007.Sloane, N. J. A. 序列 A097047,出自 "整數序列線上百科全書"。

在 中被引用

立方體點選取

請引用為

Weisstein, Eric W. "立方體點選取。" 出自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CubePointPicking.html

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