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超立方體點選取


期望值 B_n(s)r^s,從單位 n-立方體的一個固定頂點到一個在超立方體內部隨機選取的點的距離,由下式給出

B_n(s)=int_0^1...int_0^1_()_(n)sqrt(x_1^2+...+x_n^2)dx_1...dx_n
(1)
=s/(Gamma(1-1/2s))int_0^infty(1-[b(u)]^n)/(u^(s+1))
(2)

其中 r 是距離,並且

b(u)=int_0^1e^(-u^2x^2)dx
(3)
=(sqrt(pi)erf(u))/(2u)
(4)

(Bailey et al. 2006)。

期望距離 B_n=B_n(1) 的前幾個值由下式給出

B_1=1/2
(5)
B_2=1/3sqrt(2)+1/3ln(sqrt(2)+1)
(6)
B_3=1/4sqrt(3)-1/(24)pi-1/2ln2+ln(1+sqrt(3))
(7)
B_4=2/5+7/(20)pisqrt(2)-1/(20)piln(1+sqrt(2))+ln3-7/5sqrt(2)tan^(-1)(sqrt(2))+1/(10)K_0,
(8)

其中項

K_0=2int_(sqrt(3))^2(ycoth^(-1)y)/(sqrt(y^2-3)(y^2-2))dy
(9)
=2int_0^1(coth^(-1)(sqrt(3+y^2)))/(1+y^2)dy
(10)

尚未以閉合形式為人所知 (Bailey et al. 2006; Bailey et al. 2007, pp. 238 和 272)。

它與從單位 n-立方體中心到點的期望距離有關,關係如下

 Z_n(s)=(B_n(s))/(2^s)
(11)

(Bailey et al. 2006)。


另請參閱

盒積分, 立方體點選取, 超立方體線選取, 線段點選取, 正方形點選取

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "盒積分。" 預印本。 2006 年 4 月 3 日。Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 行動中的實驗數學。 Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

在 上被引用

超立方體點選取

請引用為

Weisstein, Eric W. "超立方體點選取。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/HypercubePointPicking.html

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