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線段點選

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考慮長度為 1 的線段，並在 [0,1] 之間隨機選取一個點 x。這個點 x 將線段分成長度為 x 和 1-x 的線段。如果這樣隨機選取一組點，則所得長度的分佈在 均勻分佈於 [0,1]。類似地，每次分割後分離出兩段，較大段在 [1/2,1] 上均勻分佈（均值為 3/4），而較小段在 [0,1/2] 上均勻分佈（均值為 1/4）。

在單位線段上隨機選取兩個點進行切割，所得線段能夠構成三角形的機率為 1/4。

LinePointPickingSmall

小段與大段長度之比的機率和分佈函式由下式給出

P(x)=2/((1+x)^2)
(1)
D(x)=(2x)/(1+x)
(2)

對於 x in [0,1]。因此，原點矩為

mu_n^'=n[psi_0(1/2(n+1))-psi_0(1/2n)]-1,
(3)

其中 psi_0(x) 是 雙伽瑪函式。前幾個矩為

mu_1^'=2ln2-1
(4)
mu_2^'=-4ln2+3
(5)
mu_3^'=6ln2-4
(6)
mu_4^'=-8ln2+(17)/3
(7)

（OEIS A115388 和 A115389）。中心矩為

mu_n=((-1)^(n-1)(n-1)(2ln2)^n(1-n)_(n-1)(-n)_(n-1))/(Gamma(n)Gamma(n+1)) +sum_(k=0)^(n-2)((ln2)^k(2^n-2^(k+1))(1-n)_k(-n)_k)/((n-1)k!(2-n)_k),
(8)

其中 (x)_n 是 波赫哈默爾符號。前幾個中心矩為

mu_2=2-4ln^22
(9)
mu_3=3-12ln2+16ln^32
(10)
mu_4=(14)/3-24ln2+48ln^22-48ln^42.
(11)

因此，均值、方差、偏度和 超額峰度分別為

mu=2ln2-1
(12)
sigma^2=2-4ln^22
(13)
beta=(3-12ln2+16ln^32)/((2-4ln^22)^(3/2))
(14)
gamma=((25)/6-6ln2)/((1-2ln^22)^2)-6.
(15)

均值可以直接從下式計算得出

mu=int_0^1(min(x,1-x))/(max(x,1-x))dx
(16)
=2int_0^(1/2)x/(1-x)dx
(17)
=2ln2-1.
(18)
LinePointPickingLarge

大段與小段長度之比的機率和分佈函式由下式給出

P(x)=2/((1+x)^2)
(19)
D(x)=(x-1)/(x+1)
(20)

對於 x in [1,infty)。儘管這可能看起來是悖論，但此分佈具有無限均值和其他矩。其原因是理論上的骨骼可以切割得非常接近一端，從而使得最大段與最小段的比值非常大，而實際物理骨骼的切割存在某種限制。假設 epsilon 是骨骼可以切割成的最小段，則均值由下式給出

x^_=2ln(1/(2epsilon))+2epsilon-1.
(21)

另請參閱

立方體點選，超立方體點選，線線點選，正方形點選

使用 探索

參考文獻

Pickover, C. A. "骨骼問題。" 第 8 章，The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 21-23 和 243-249, 2002.Sloane, N. J. A. 序列 A115388 和 A115389，出自 "整數序列線上百科全書"。

在 中被引用

線段點選

請引用為

Weisstein, Eric W. "線段點選。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LinePointPicking.html

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