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點線距離——三維

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PointLineDistance3D

假設三維空間中的一條直線由兩個點 x_1=(x_1,y_1,z_1) 和 x_2=(x_2,y_2,z_2) 確定，則沿該直線的向量由下式給出

v=[x_1+(x_2-x_1)t; y_1+(y_2-y_1)t; z_1+(z_2-z_1)t].
(1)

因此，直線上引數為 t 的點與點 x_0=(x_0,y_0,z_0) 之間的平方距離為

d^2=[(x_1-x_0)+(x_2-x_1)t]^2+[(y_1-y_0)+(y_2-y_1)t]^2+[(z_1-z_0)+(z_2-z_1)t]^2.
(2)

為了最小化距離，令 d(d^2)/dt=0 並求解 t 以獲得

t=-((x_1-x_0)·(x_2-x_1))/(|x_2-x_1|^2),
(3)

其中 · 表示點積。然後可以透過將 t 代回 (2) 來找到最小距離，從而獲得

d^2=(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2+2t[(x_2-x_1)(x_1-x_0)+(y_2-y_1)(y_1-y_0)+(z_2-z_1)(z_1-z_0)]+t^2[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2]
(4)
=|x_1-x_0|^2-2([(x_1-x_0)·(x_2-x_1)]^2)/(|x_2-x_1|^2)+([(x_1-x_0)·(x_2-x_1)]^2)/(|x_2-x_1|^2)
(5)
=(|x_1-x_0|^2|x_2-x_1|^2-[(x_1-x_0)·(x_2-x_1)]^2)/(|x_2-x_1|^2).
(6)

使用向量四重積

(AxB)^2=A^2B^2-(A·B)^2
(7)

其中 x 表示叉積，則給出

d^2=(|(x_2-x_1)x(x_1-x_0)|^2)/(|x_2-x_1|^2),
(8)

取平方根得到美麗的公式

d=(|(x_2-x_1)x(x_1-x_0)|)/(|x_2-x_1|)
(9)
=(|(x_0-x_1)x(x_0-x_2)|)/(|x_2-x_1|)
(10)
.
(11)

這裡，分子是點 x_0、x_1 和 x_2 形成的三角形面積的兩倍，分母是三角形底邊之一的長度，這可以從通常的三角形面積公式 Delta=bd/2 得出。

另請參閱

共線, 線, 點, 點線距離——二維, 三角形面積

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請引用為

魏斯坦, 埃裡克·W. "Point-Line Distance--3-Dimensional." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Point-LineDistance3-Dimensional.html

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