平面-平面交線

只要兩個平面不平行，它們總是相交於一條直線。設平面以 Hessian 標準型指定，則交線必須垂直於 和 ，這意味著它平行於

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為了唯一地確定這條直線，還需要找到直線上的一個特定點。這可以透過找到同時位於兩個平面上的點來確定，即滿足以下條件的點

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一般來說，這個系統是欠定的，但可以透過設定 （假設 分量 不為 0；或者其他類似的條件）並求解來找到一個特解。則交線的方程為

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（Gellert 等人，1989年，第 542 頁）。一種避免上述特殊處理的通用方法是定義

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然後使用線性求解技術找到 到 的特解，方向向量將由 零空間 給出。

設三個平面由三點 指定，其中 , 2, 3， 表示平面編號， 表示第 個 平面的點。交點 可以透過同時求解由每個平面與 共面產生的三個方程來直接（如果繁瑣地）獲得，即

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對於 , 2, 3，使用 克萊姆法則。

如果三個平面分別由一個點 和一個單位法向量 指定，則唯一的交點 由下式給出

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其中 是透過並排放置向量 形成的矩陣的行列式。如果其中兩個平面平行，則

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並且沒有交點（Gellert 等人，1989年，第 542 頁；Goldman，1990年）。對於 Hessian 標準型中的平面，可以很容易地檢查此條件。

共享一條公共線的平面集合稱為平面束，而共享一個公共點的平面集合稱為點束。