辛群

對於每個偶數維度 ，辛群 是 矩陣 的群，這些矩陣保持非退化的反對稱雙線性形式 ，即辛形式。

透過找到辛基，每個辛形式都可以被放入規範形式。因此，直到共軛，只有一個辛群，這與保持非退化對稱雙線性形式的正交群形成對比。與正交群一樣，辛矩陣的列構成辛基。

由於 是一個體積形式，辛群保持體積和向量空間定向。因此，。實際上， 只是行列式為 1 的矩陣群。因此，三個辛(0,1)-矩陣是

(1)

矩陣

(2)

和

(3)

在 中，其中

(4)

事實上，這兩個例子都是單引數子群。

可以使用Wolfram 語言程式碼測試矩陣是否為辛矩陣

  SymplecticForm[n_Integer] :=
    Join[PadLeft[IdentityMatrix[n], {n, 2n}],
      PadRight[-IdentityMatrix[n], {n, 2n}]]
  SymplecticQ[a_List]:= EvenQ[Length[a]]&&
    Transpose[a] . SymplecticForm[Length[a]/2] .
       a == SymplecticForm[Length[a]/2]

將矩陣視為由 座標函式給出，矩陣集合被識別為 。辛矩陣是 方程的解

(5)

其中 由下式定義

(6)

請注意，這些方程是冗餘的，因為只有 個方程是獨立的，留下 個“自由”變數。事實上，辛群是 維子流形，它是 的子流形。

因為辛群是一個群和一個流形，所以它是一個李群。它在單位元處的子流形切空間是辛李代數 。辛群不是緊緻的。

除了使用實數作為係數外，還可以使用來自任何域 的係數。對於 偶數，辛群 是一般線性群 中元素的群，這些元素保持給定的非奇異辛形式。任何這樣的矩陣的行列式都為 1。