對稱雙線性形式

在向量空間 上的對稱雙線性形式是一個雙線性函式

(1)

滿足 。

例如，如果 是一個 對稱矩陣，那麼

(2)

是一個對稱雙線性形式。考慮

(3)

那麼

(4)

一個二次形式也可以被標記為 ，因為二次形式與對稱雙線性形式存在一一對應關係。注意 是一個二次形式。如果 是一個二次形式，那麼它透過下式定義一個對稱雙線性形式

(5)

對稱雙線性形式的核，或根，是向量的集合

(6)

如果一個二次形式的核為零，則稱其為非退化的。也就是說，如果對於所有 ，存在一個 使得 。 的秩是矩陣 的秩。

如果存在一個基 （稱為正交基），使得 是一個 對角矩陣，則形式 是對角化的。或者，存在一個矩陣 使得

(7)

是一個對角二次形式。矩陣 的第 列是向量 。

一個非退化的對稱雙線性形式可以被對角化，使用 格拉姆-施密特正交化 找到 ，使得對角矩陣 的項為 1 或 。如果有 個 1 和 個 ，那麼 被稱為具有 矩陣符號差 。實非退化對稱雙線性形式透過它們的符號差進行分類，意義在於給定兩個具有符號差 的形式的向量空間，存在向量空間的同構，將一個形式對映到另一個形式。

對於所有非零 ，滿足 的對稱雙線性形式稱為正定。例如，通常的內積是正定的。正定形式具有符號差 。負定形式是正定形式的負數，並具有符號差 。如果該形式既不是正定的也不是負定的，那麼必須存在向量 使得 ，稱為迷向向量。

一般的對稱雙線性形式 可以被對角化，對角項為 1、 或 0，因為形式 在 商向量空間 上總是非退化的。如果 是一個復向量空間，那麼對稱雙線性形式可以被對角化，使其項為 1 或 0。對於其他域，對稱雙線性形式比實數或複數情況更多。例如，如果域的域特徵為 2，那麼不可能除以 2，因為 。因此，在特徵 2 中，二次形式和對稱雙線性形式之間沒有對應關係。

在向量空間上的對稱雙線性形式，其域 不是實數，已經對一些域進行了分類。還有關於自由阿貝爾群上的對稱雙線性形式的定理，例如 。

一個對稱雙線性形式 透過給定一個基 並設定 對應於一個矩陣 。如果基的改變將一個形式變為另一個形式，則認為兩個對稱雙線性形式是等價的。因此，，其中 是任何可逆矩陣。因此，對稱雙線性形式的秩是一個不變數。

此外， 可以透過 改變。 在 中的陪集是 的一個良好定義的不變數，稱為判別式。對於實數形式，它要麼是 1 要麼是 -1。對於 ，判別式可以是任何有理數 ，其中 和 是無平方因子的。在有限域上的對稱雙線性形式由其秩和判別式確定。

在 p-adic 數 上的對稱雙線性形式由其秩、判別式和另一個不變數 表徵。給定一個對於 正交的基 ，定義 ，那麼

(8)

其中 是希爾伯特符號。

兩個對稱雙線性形式在有理數上是等價的 當且僅當 它們在每個 以及實數（也稱為 ）中都是等價的。 中的資料可以被認為是“區域性”資訊，可以將其拼湊起來以產生 中的“全域性”資訊。因此，有理數形式具有可數個不同的不變數，對於每個素數有三個，對於實數有兩個。