Burnside問題

Burnside問題起源於 Burnside (1902)，他寫道：“關於不連續群理論中一個尚未解決的點是，一個群的群階是否可能不是有限的，而它包含的每個運算的階都是有限的。” 這個問題現在可以表述為：“一個有限生成群可以是無限的，同時群中的每個元素的階都是有限的嗎？” (Vaughan-Lee 1993)。 Golod (1964) 在構造了有限生成的無限 p-群時回答了這個問題。 然而，這些群沒有有限的指數。

設 為群秩為 的自由群，設 為由 次冪 的集合生成的正規子群。 那麼 是 的正規子群。 定義 為商群。 我們稱 為指數為 的 -生成元 Burnside 群。 它是指數為 的最大 -生成元群，在這個意義上，每個其他這樣的群都是 的同態像。 Burnside 問題通常表述為：“對於哪些 和 值， 是一個有限群？”

對於以下值，答案是已知的。 對於 ， 是群階為 的迴圈群。 對於 ， 是群階為 的初等阿貝爾 2-群。 對於 ，Burnside 證明了 是有限的。 群的群階由 Levi 和 van der Waerden (1933) 確定，即 ，其中

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其中 是一個二項式係數。 對於 ，Sanov (1940) 證明了 是有限的。 指數為 4 的群被證明是已知正解的最複雜情況。 精確的冪零類和匯出長度是已知的，群階的界限也是已知的，如下表總結。 , 2, ... 的前幾個值是 4, 4096, 590295810358705651712, ... (OEIS A079682)，對應於 2 的 2, 12, 69, 422, 2728, ... 次方 (OEIS A116398)。

		參考文獻
1
2		Tobin (1954)
3		Bayes 等人 (1974)
4		Havas 和 Newman (1980)
5		O'Brien 和 Newman (1996)

不等式 由 Burnside 在 1902 年證明，他還聲稱等式成立。 結果 是在 Gupta 和 Newman (1974) “手動” 獲得不等式 之後，在計算機的幫助下證明的。

對於更大的 值，確切值尚不清楚。 對於 ，Hall (1958) 證明了 是有限的，群階為 ，其中

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沒有其他 Burnside 群已知是有限的。 另一方面，對於 和 ，其中 為奇數， 是無限的 (Novikov 和 Adjan 1968)。 對於 和 為 2 的大冪次，也有類似的事實。

E. Zelmanov 因其解決“限制性” Burnside 問題而於 1994 年獲得菲爾茲獎。