素數和

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設

(1)

為前個素數之和（即，素數階乘函式的求和模擬）。前幾項是 2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, ... (OEIS A007504)。 Bach 和 Shallit (1996) 表明

(2)

並提供了一種估計此類總和的通用技術。

使得為素數的前幾個值是 1, 2, 4, 6, 12, 14, 60, 64, 96, 100, ... (OEIS A013916)。對應的值是 2, 5, 17, 41, 197, 281, 7699, 8893, 22039, 24133, ... (OEIS A013918)。

使得的前幾個值是 1, 23, 53, 853, 11869, 117267, 339615, 3600489, 96643287, ... (OEIS A045345)。對應的值是 2, 874, 5830, 2615298, 712377380, 86810649294, 794712005370, 105784534314378, 92542301212047102, ... (OEIS A050247; Rivera)，並且的值是 2, 38, 110, 3066, 60020, 740282, 2340038, 29380602, 957565746, ... (OEIS A050248; Rivera)。

1737 年，尤拉證明了素數調和級數（即，素數倒數之和）發散

(3)

（Nagell 1951, p. 59; Hardy 和 Wright 1979, pp. 17 和 22），儘管它發散得非常緩慢。

一個快速收斂的梅爾滕斯常數級數

(4)

由下式給出

(5)

其中是尤拉-馬歇羅尼常數，是黎曼 zeta 函式，並且是莫比烏斯函式 (Flajolet 和 Vardi 1996, Schroeder 1997, Knuth 1998)。

狄利克雷證明了更強的結果，即

sum_(prime p=b (mod a); (a,b)=1)1/p=infty

(6)

(Davenport 1980, p. 34)。儘管素數倒數之和發散，但交錯級數

(7)

(OEIS A078437) 收斂 (Robinson 和 Potter 1971)，但尚不清楚總和

(8)

是否收斂 (Guy 1994, p. 203; Erdős 1998; Finch 2003)。

還有一些素數倒數和的類別，其符號由上的同餘式確定，例如

(9)

(OEIS A086239)，其中

$c_k={-1 for p_k=1 (mod 4); 1 for p_k=3 (mod 4)$

(10)

(Glaisher 1891b; Finch 2003; Jameson 2003, p. 177),

(11)

(OEIS A086240; Glaisher 1893, Finch 2003), 和

(12)

(OEIS A086241)，其中

$d_k={-1 for p_k=1 (mod 3); 1 for p_k=2 (mod 3); 0 for p_k=0 (mod 3)$

(13)

(Glaisher 1891c; Finch 2003; Jameson 2003, p. 177)。

雖然發散，但 Brun (1919) 表明

(14)

其中

(15)

(OEIS A065421) 是布朗常數。

由下式定義的函式

(16)

在素數上取值，對於收斂，是黎曼 zeta 函式的推廣，被稱為素數 zeta 函式。

考慮正整數，其素數分解為

(17)

使得存在奇數個（不必不同的）素因子，即是奇數。前幾個這樣的數字是 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 23, 27, 28, 29, ... (OEIS A026424)。那麼

			(18)
			(19)
			(20)

(Gourdon 和 Sebah)，其中是黎曼 zeta 函式。前幾項是

			(21)
			(22)
			(23)
			(24)

(OEIS A093597 和 A093598)。

考慮類似的求和，其中，此外，包含的項必須具有奇數個不同的素因子，即是奇數，並且。前幾個這樣的數字是 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, ... (OEIS A030059)，其中包括合數 30, 42, 66, 70, 78, 102, ... (OEIS A093599)。那麼

			(25)
			(26)
			(27)

(Gourdon 和 Sebah)。前幾項是

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)

(OEIS A093595 和 A093596)。

和

			(32)
			(33)
			(34)

(OEIS A086242) 也是有限的 (Glaisher 1891a; Cohen; Finch 2003)，其中

(35)

是尤拉函式，並且是黎曼 zeta 函式。

素數滿足的一些有趣的求和包括

(36)

對於 , 3, 5, ...，給出序列 0, 2, 18, 60, 270, 462, 1080, ... (OEIS A078837; Doster 1993)

(37)

給出序列 0, 2, 30, 120, 630, 1122, 2760, ... (OEIS A078838; Doster 1993),

(38)

給出序列 0, 1, 12, 45, 225, 396, 960, 1377, ... (OEIS A331764; J.-C. Babois, 私人通訊，2021 年 1 月 31 日),

			(39)
			(40)

其中是芒戈爾特函式，並且

(41)

(Berndt 1994, p. 114)。

設為整數寫成兩個或多個連續素數之和的方式數。例如，，所以，並且，所以。對於 , 2, ... 的值序列由 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... (OEIS A084143) 給出。下表給出了前幾個使得對於小的。

	OEIS	使得的值
1	A050936	5, 8, 10, 12, 15, 17, 18, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 36, ...
2	A067372	36, 41, 60, 72, 83, 90, 100, 112, 119, ...
3	A067373	240, 287, 311, 340, 371, 510, 660, 803, ...

類似地，下表給出了前幾個使得對於小的。

	OEIS	使得的值
1	A084146	5, 8, 10, 12, 15, 17, 18, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39, ...
2	A084147	36, 41, 60, 72, 83, 90, 100, 112, 119, 120, 138, ...

現在考慮數字，它是數字表示為一個或多個連續素數之和的方式數（即，與之前相同的序列，但對於每個素數都大一個）。令人驚訝的是，結果表明

(42)

(Moser 1963; Le Lionnais 1983, p. 30)。

另請參閱

布朗常數, 素數調和級數, 梅爾滕斯常數, 梅爾滕斯第二定理, 素數公式, 素數, 素數積, 素數 Zeta 函式, 素數階乘, 素因子之和

此條目的部分內容由 Jean-Claude Babois 貢獻

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更多嘗試

參考文獻

Bach, E. 和 Shallit, J. §2.7 in Algorithmic Number Theory, Vol. 1: Efficient Algorithms. Cambridge, MA: MIT Press, 1996.Berndt, B. C. "Ramanujan's Theory of Prime Numbers." Ch. 24 in Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, 1994.Brun, V. "La serie

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." Quart. J. Pure Appl. Math. 25, 48-65, 1891c.Glaisher, J. W. L. "On the Series

." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 33-47, 1893.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "Collection of Series for

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Babois, Jean-Claude 和 Weisstein, Eric W. "素數和。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PrimeSums.html

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