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梅爾滕斯常數

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梅爾滕斯常數 B_1，也稱為 Hadamard-de la Vallee-Poussin 常數、素數倒數常數（Bach and Shallit 1996，p. 234）或 Kronecker 常數（Schroeder 1997），是與 孿生素數常數 相關的常數，並出現在 梅爾滕斯第二定理 中，

sum_(p<=x)1/p=lnlnx+B_1+o(1),
(1)

其中求和是對素數進行的，o(1) 是一個 蘭道符號。這個和類似於

sum_(n<=x)1/n=lnx+gamma+o(1),
(2)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數（Gourdon 和 Sebah）。

該常數由無窮級數給出

B_1=gamma+sum_(k=1)^infty[ln(1-p_k^(-1))+1/(p_k)]
(3)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，p_k 是第 k 個素數（Rosser 和 Schoenfeld 1962；Hardy 和 Wright 1979；Le Lionnais 1983；Ellison 和 Ellison 1985），或者由以下極限給出

B_1=lim_(x->infty)(sum_(p<=x)1/p-lnlnx).
(4)

根據 Lindqvist 和 Peetre（1997），這由 Meissel 在 1866 年和 Mertens（1874）獨立證明。公式 (3) 等價於

B_1=gamma-sum_(k=1)^(infty)sum_(j=2)^(infty)1/(jp_k^j),
(5)
=gamma-sum_(j=2)^(infty)(P(j))/j,
(6)

其中 P(n) 是 素數 zeta 函式，這可以從 (5) 使用 墨卡託級數 得到，對於 ln(1+x)，其中 x=-1/p_k。B_1 也由快速收斂級數給出

B_1=gamma+sum_(m=2)^infty(mu(m))/mln[zeta(m)],
(7)

其中 zeta(n) 是 黎曼 zeta 函式，mu(n) 是 莫比烏斯函式（Flajolet 和 Vardi 1996，Schroeder 1997，Knuth 1998）。

梅爾滕斯常數的數值為

B_1=0.2614972128...
(8)

(OEIS A077761)。Knuth（1998）給出了 B_1 的 40 位數字，Gourdon 和 Sebah 給出了 100 位數字。

乘積 1-1/p 的漸近行為為

product_(p<=x)(1-1/p)∼(e^(-gamma))/(lnx)
(9)

（Hardy 1999，p. 57），其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，∼ 是 漸近符號，這就是 梅爾滕斯定理。

常數 B_1 也出現在 求和函式 中，該函式是 不同素因子 omega(k) 的數量，

sum_(k=2)^nomega(k)=nlnlnn+B_1n+o(n)
(10)

（Hardy 和 Wright 1979，p. 355）。

相關的常數

B_2=gamma+sum_(k=1)^(infty)[ln(1-p_k^(-1))+1/(p_k-1)]
(11)
=B_1+sum_(k=1)^(infty)1/(p_k(p_k-1))
(12)
=gamma+sum_(n=2)^(infty)(phi(n)ln[zeta(n)])/n
(13)
=1.034653...
(14)

(OEIS A083342) 出現在 求和函式 中，該函式是（不一定不同）素因子 Omega(n) 的數量，

sum_(n<=x)Omega(n)=xlnlnx+B_2x+o(x)
(15)

（Hardy 和 Wright 1979，p. 355），其中 phi(n) 是 尤拉函式，zeta(n) 是 黎曼 zeta 函式。

另一個相關的常數是

B_3=gamma+sum_(j=2)^(infty)sum_(k=1)^(infty)(lnp_k)/(p_k^j)
(16)
=1.3325822757...
(17)

(OEIS A083343；Rosser 和 Schoenfeld 1962，Montgomery 1971，Finch 2003），它出現在 梅爾滕斯定理 的另一個等價形式中

B_3=lim_(x->infty)(lnx-sum_(p<=x)(lnp)/p).
(18)

另請參閱

布倫常數, 調和級數, 梅爾滕斯第二定理, 素因子, 素數, 孿生素數常數

使用 探索

參考文獻

Bach, E. 和 Shallit, J. 演算法數論，第 1 卷：高效演算法。 Cambridge, MA: MIT Press, 1996.Ellison, W. J. 和 Ellison, F. 素數。 New York: Wiley, 1985.Finch, S. R. "Meissel-Mertens 常數。" §2.2 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 94-98, 2003.Flajolet, P. 和 Vardi, I. "經典常數的 Zeta 函式展開。" 未發表的手稿。1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "數論中的一些常數。" http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/constantsNumTheory.html.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作所提出的主題的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, 1999.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "梅爾滕斯定理。" §22.8 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 351-353 和 355, 1979.Ingham, A. E. 素數分佈。 London: Cambridge University Press, pp. 22-24, 1990.Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術，第 2 卷：半數值演算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.Landau, E. 素數分佈理論手冊，第 3 版。 New York: Chelsea, pp. 100-102, 1974.Le Lionnais, F. 卓越的數。 Paris: Hermann, p. 24, 1983.Lindqvist, P. 和 Peetre, J. "關於梅爾滕斯級數中的餘項。" Expos. Math. 15, 467-478, 1997.Mertens, F. J. für Math. 78, 46-62, 1874.Michon, G. P. "最終答案：數值常數。" http://home.att.net/~numericana/answer/constants.htm#mertens.Montgomery, H. L. 乘法數論主題。 New York: Springer-Verlag, 1971.Rosser, J. B. 和 Schoenfeld, L. "素數某些函式的近似公式。" Ill. J. Math. 6, 64-94, 1962.Schroeder, M. R. 科學與通訊中的數論，在密碼學、物理學、數字資訊、計算和自相似性中的應用，第 3 版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Sloane, N. J. A. "整數序列線上百科全書" 中的序列 A077761、A083342 和 A083343。Tenenbaum, G. 和 Mendes-France, M. 素數及其分佈。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 22, 2000.Titchmarsh, E. C. 黎曼 Zeta 函數理論，第 2 版。 New York: Clarendon Press, 1987.

在 中被引用

梅爾滕斯常數

請引用為

Weisstein, Eric W. “梅爾滕斯常數。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/MertensConstant.html

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