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狄利克雷生成函式

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給定一個序列 {a_n}_(n=1)^infty，一個 形式冪級數

f(s)=sum_(n=1)^(infty)(a_n)/(n^s)
(1)
=a_1+(a_2)/(2^s)+(a_3)/(3^s)+...
(2)

被稱為該序列的狄利克雷生成函式 (Wilf 1994, p. 56)。

序列 {a_n}_(n=1)^infty 的狄利克雷生成函式可以在 Wolfram 語言 中使用以下方法找到：DirichletTransform[a[n], n, s].

下表總結了由許多函式生成的序列。例如，zeta(s) 給出了所有 1 的序列，而 [zeta(s)]^2 給出了除數個數的序列 d(n)=sigma_0(n)，其中 sigma_0(n) 是零階除數函式。在表中，mu(n) 是 莫比烏斯函式，H(n) 是 有序因子分解 的數量，phi(n) 是 尤拉函式，lambda(s) 是 狄利克雷 lambda 函式，psi(n) 是 戴德金函式，並且 P(s) 是 素數 zeta 函式。一般來說，[zeta(s)]^k 生成 n 分解為 k 個因子的 有序因子分解 的數量 (Wilf 1994, p. 58)。

f(s)a_nOEIS序列
1/zeta(s)mu(n)A0086831, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, ...
zeta(s)11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
[zeta(s)]^2d(n)A0000051, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, ...
zeta(s)zeta(s-k)sigma_k(n)
zeta(s-1)/zeta(s)phi(n)A0000101, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, ...
1/[2-zeta(s)]H(n)A0020331, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 8, ...
lambda(s)1/2[1-(-1)^n]A0000351, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
(zeta(s)zeta(s-1))/(zeta(2s))psi(n)A0016151, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, ...
(zeta(3s)zeta(s-1))/(zeta(3s-3))n 的無立方因子部分A0509851, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9, 10, 11, 12, ...
P(s)素數 p_n 的特徵函式A0000000, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, ...
zeta(s)-1-P(s)合數 c_n 的特徵函式A0000000, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, ...

如果 A(s) 和 B(s) 分別是兩個序列 {a_n}_(n=1)^infty 和 {b_n}_(n=1)^infty 的狄利克雷生成函式，並且這兩個序列透過下式連線：

a_n=sum_(d|n)b_d
(3)

對於 n>=1。那麼

A(s)=B(s)zeta(s),
(4)

並且這些序列透過 莫比烏斯反演公式 相關聯

b_n=sum_(d|n)mu(n/d)a_d,
(5)

其中 mu(n) 是 莫比烏斯函式 (Wilf 1994, p. 62)。

參見

狄利克雷 L 級數, 狄利克雷級數, 生成函式, 莫比烏斯變換

使用 探索

參考文獻

Sloane, N. J. A. 序列 A000005/M0246, A000010/M0299, A000035/M0001, A002033/M0131, A008683, 和 A050985，收錄於“整數數列線上大全”。Wilf, H. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic Press, 1994.

請引用為

Weisstein, Eric W. "狄利克雷生成函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DirichletGeneratingFunction.html