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總計求和函式

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TotientSummatoryFunction

總計函式 求和函式 Phi(n) 的 總計函式 phi(n) 定義為

Phi(n)=sum_(k=1)^(n)phi(k)
(1)
=sum_(m=1)^(n)msum_(d|m)(mu(d))/d
(2)
=sum_(d=1)^(n)mu(d)sum_(d^'=1)^(|_n/d_|)d^'
(3)
=1/2sum_(d=1)^(n)mu(d)|_n/d_|(1+|_n/d_|)
(4)

(Hardy 和 Wright 1979, p. 268)，如上紅色曲線所示。 Phi(n) 的首幾個值為 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, ... (OEIS A002088)。

Phi(n) 具有漸近級數

Phi(x)∼1/(2zeta(2))x^2+O(xlnx)
(5)
∼3/(pi^2)x^2+O(xlnx),
(6)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式 （Perrot 1881；Nagell 1951, p. 131；Hardy 和 Wright 1979, p. 268；如上藍色曲線所示）。 Walfisz (1963) 提出的改進漸近估計由下式給出

Phi(x)∼(3x^2)/(pi^2)+O[x(lnx)^(2/3)(lnlnx)^(4/3)].
(7)
TotientInverseSummatory

考慮 1/phi(n) 的 求和函式，

S(N)=sum_(n=1)^N1/(phi(n)),
(8)

如上紅色曲線所示。 對於 N=1, 2, ...，前幾項為 1, 2, 5/2, 3, 13/4, 15/4, 47/12, 25/6, ... (OEIS A028415 和 A048049)。 當 N->infty 時，該和發散，但 Landau (1900) 證明了漸近行為由下式給出

S(N)∼A(gamma+lnN)+B+O((lnN)/N),
(9)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，

A=sum_(k=1)^(infty)([mu(k)]^2)/(kphi(k))
(10)
=(zeta(2)zeta(3))/(zeta(6))
(11)
=(315)/(2pi^4)zeta(3)
(12)
=1.9435964368...
(13)
B=sum_(k=1)^(infty)([mu(k)]^2lnk)/(kphi(k))
(14)
=1.18244...
(15)

(OEIS A082695)，mu(k) 是 莫比烏斯函式，zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式，而 p_k 是第 k 個素數 (Landau 1900; Halberstam 和 Richert 1974, pp. 110-111; DeKoninck 和 Ivić 1980, pp. 1-3; Finch 2003, p. 116; Havil 2003, p. 115; Dickson 2005)。

A 和 B 也可以寫成

A=product_(k=1)^(infty)(1-p_k^(-6))/((1-p_k^(-2))(1-p_k^(-3)))
(16)
=product_(k=1)^(infty)[1+1/(p_k(p_k-1))]
(17)

和

B=Aproduct_(k=1)^(infty)(lnp_k)/(p_k^2-p_k+1)
(18)
=(315)/(2pi^4)zeta(3)product_(k=1)^(infty)(lnp_k)/(p_k^2-p_k+1),
(19)

分別地，使得這些常數在形式上類似於 Artin 常數 (Finch 2003, pp. 116-117)。

總和

C_(totient)=sum_(n=1)^(infty)1/(nphi(n))
(20)
=zeta(2)product_(p)[1+1/(p^2(p-1))]
(21)
=2.20386...
(22)

(OEIS A118262) 有時被稱為總計常數 (Niklasch)，其中

product_(p)[1+1/(p^2(p-1))]=1.33978...
(23)

(OEIS A065483)，並且乘積取自素數 p。

另請參閱

素數乘積, 總計函式, 總計價函式

使用 探索

參考文獻

DeKoninck, J.-M. 和 Ivić, A. 算術函式主題：算術函式倒數和及相關領域的漸近公式。 Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1980.Dickson, L. E. 數論史，第 1 卷：可除性和素性。 New York: Dover, pp. 113-158, 2005.Finch, S. R. "尤拉總計常數。" §2.7 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 115-119, 2003.Halberstam, H. 和 Richert, H.-E. 篩法。 New York: Academic Press, 1974.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "phi(n) 的平均階數。" §18.5 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 268-269, 1979.Havil, J. Gamma：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Landau, E. "Über die zahlentheoretische Function phi(n) und ihre Beziehung zum Goldbachschen Satz." Nachr. Königlichen Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 177-186, 1900. Werke, Vol. 1 (Ed. L. Mirsky, I. J. Schoenberg, W. Schwarz, 和 H. Wefelscheid). Thales Verlag, pp. 106-115, 1983. Mitrinović, D. S. 和 Sándor, J. §I.27 in 數論手冊。 Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1995.Nagell, T. "相對素數。尤拉 phi-函式。" §8 in 數論入門。 New York: Wiley, pp. 23-26, 1951.Niklasch, G. "一些數論常數。" http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml.Perrot, J. 1811. 引用於 Dickson, L. E. 數論史，第 1 卷：可除性和素性。 New York: Dover, p. 126, 2005.Sloane, N. J. A. 序列 A028415, A048049, A065483, A082695, A085609, A098468, 和 A118262 在“整數序列線上百科全書”中。Stephens, P. J. "二階線性遞迴的素數除數，I。" J. Number Th. 8, 313-332, 1976.Walfisz, A. Ch. 5 in Weyl'sche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1963.

在 中被引用

總計求和函式

引用為

Weisstein, Eric W. “總計求和函式。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/TotientSummatoryFunction.html

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