主題
Search

素數星座

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram 筆記本

素數星座，也稱為素數 k-元組，素數 k-元組或素數簇，是 k 個連續數字的序列，使得第一個和最後一個數字之間的差在某種意義上是最小的。更精確地說，素數 k-元組是連續素數 (p_1, p_2, ..., p_k) 的序列，其中 p_k-p_1=s(k), 其中 s(k) 是最小的數字 s，對於這個 s，存在 k 個整數 b_1<b_2<...<b_k, b_k-b_1=s 並且，對於每個素數 q，並非所有模 q 的剩餘類都由 b_1, b_2, ..., b_k 表示 (Forbes)。對於每個 k，此定義排除了素數序列開頭有限數量的簇。例如，(97, 101, 103, 107, 109) 滿足素數 5 元組定義的條件，但 (3, 5, 7, 11, 13) 不滿足，因為所有三個模 3 的剩餘類都被表示 (Forbes)。

素數對，其中 s(2)=2 是 形如 (p, p+2) 的，稱為孿生素數對。形如 (p, p+4) 的素數對稱為表親素數，形如 (p, p+6) 的素數對稱為性感素數。

素數三元組具有 s(3)=6。星座 (p, p+2, p+4) 不可能存在，除非 p=3，因為 p, p+2 和 p+4 之一必須能被 3 整除。但是，存在幾種可以存在的素數三元組型別：(p, p+2, p+6), (p, p+4, p+6), (p, p+6, p+12)。

素數四元組是四個連續素數的星座，最小距離為 s(4)=8，形式為 (p, p+2, p+6, p+8)。因此，序列 s(n) 以 2, 6, 8 開頭，並繼續 12, 16, 20, 26, 30, ... (OEIS A008407)。另一個四元組星座是 (p, p+6, p+12, p+18)。

Hardy 和 Wright (1979, p. 5) 猜想，並且似乎幾乎可以肯定是真的，存在無限多的孿生素數 (p, p+2) 和素數三元組 形如 (p, p+2, p+6) 和 (p, p+4, p+6)。

第一個 Hardy-Littlewood 猜想指出，小於等於 <=x 的星座的數量漸近地由下式給出

P_x(p,p+2)∼2product_(p>=3)(p(p-2))/((p-1)^2)int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(1)
=1.320323632...int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(2)
P_x(p,p+4)∼2product_(p>=3)(p(p-2))/((p-1)^2)int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(3)
=1.320323632...int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(4)
P_x(p,p+6)∼4product_(p>=3)(p(p-2))/((p-1)^2)int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(5)
=2.640647264...int_2^x(dx^')/((lnx^')^2)
(6)
P_x(p,p+2,p+6)∼9/2product_(p>=5)(p^2(p-3))/((p-1)^3)int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(7)
=2.858248596...int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(8)
P_x(p,p+4,p+6)∼9/2product_(p>=5)(p^2(p-3))/((p-1)^3)int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(9)
=2.858248596...int_2^x(dx^')/((lnx^')^3)
(10)
P_x(p,p+2,p+6,p+8)∼(27)/2product_(p>=5)(p^3(p-4))/((p-1)^4)int_2^x(dx^')/((lnx^')^4)
(11)
=4.151180864...int_2^x(dx^')/((lnx^')^4)
(12)
P_x(p,p+4,p+6,p+10)∼27product_(p>=5)(p^3(p-4))/((p-1)^4)int_2^x(dx^')/((lnx^')^4)
(13)
=8.302361728...int_2^x(dx^')/((lnx^')^4).
(14)

這些數字有時被稱為 Hardy-Littlewood 常數，並且是 OEIS A114907, ....

(◇) 有時被稱為擴充套件的孿生素數猜想，並且

C_(p,p+2)=2Pi_2,
(15)

其中 Pi_2 是孿生素數常數。Riesel (1994) 評論說，Hardy-Littlewood 常數可以計算到任意精度，而無需無限的素數序列。

上面的積分具有解析形式

int_2^x(dx)/(ln^2x)=Li(x)+2/(ln2)-x/(lnx)
(16)
int_2^x(dx)/(ln^3x)=1/2Li(x)-x/(2ln^2x)-x/(2lnx)+1/(ln2)+1/(ln^22)
(17)
int_2^x(dx)/(ln^4x)=[(Li(x))/6-x/(3ln^3x)-x/(6ln^2x)-x/(6lnx)+2/(3ln^32)+1/(3ln^22)+1/(3ln2)],
(18)

其中 Li(x) 是對數積分。

下表給出了小於等於 <=10^8 的素數星座的數量，第二個表給出了 Hardy-Littlewood 公式預測的值。

計數10^510^610^710^8
(p,p+2)1224816958980440312
(p,p+4)1216814458622440258
(p,p+6)244716386117207879908
(p,p+2,p+6)2591393854355600
(p,p+4,p+6)2481444867755556
(p,p+2,p+6,p+8)381668994768
(p,p+6,p+12,p+18)7532516959330
Hardy-Littlewood10^510^610^710^8
(p,p+2)1249824858754440368
(p,p+4)1249824858754440368
(p,p+6)249716496117508880736
(p,p+2,p+6)2791446859155491
(p,p+4,p+6)2791446859155491
(p,p+2,p+6,p+8)531848634735
(p,p+6,p+12,p+18)

考慮其中每一項都形如 n^2+1 的素數星座。Hardy 和 Littlewood 表明，這種形式的小於 <x 的素數星座的數量由下式給出

P(x)∼Csqrt(x)(lnx)^(-1),
(19)

其中

C=product_(p>2; p prime)[1-((-1)^((p-1)/2))/(p-1)]=1.3727...
(20)

(Le Lionnais 1983)。

Forbes 給出了 k 元組中“前十名”素數的列表，對於 2<=k<=17。已知的最大 14-星座是 (11319107721272355839+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (10756418345074847279+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (6808488664768715759+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (6120794469172998449+0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50), (5009128141636113611+0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50)。

已知的最大 15-星座是 (84244343639633356306067+0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (8985208997951457604337+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (3594585413466972694697+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (3514383375461541232577+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56), (3493864509985912609487+0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56)。

已知的最大 16-星座是 (3259125690557440336637+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60), (1522014304823128379267+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60), (47710850533373130107+0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60), (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)。

已知的最大 17-星座是 (3259125690557440336631+0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66), (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79)。

Smith (1957) 發現了 8 個連續素數，其間距類似於簇 {p_n}_(n=5)^(12) (Gardner 1980)。K. Conrow 和 J. J. Devore 發現了 15 個連續素數，其間距類似於簇 {p_n}_(n=5)^(19)，由 {1632373745527558118190+p_n}_(n=5)^(19) 給出，其中第一個成員是 1632373745527558118201。

Rivera 列出了 k 個連續素數的最小示例，這些素數以給定數字 d=1, 3, 7 或 9 結尾，對於 k=5 到 11。例如，216401、216421、216431、216451、216481 是以數字 1 結尾的五個連續素數的最小集合。

另請參閱

簇素數, 表親素數, 素數等差數列, 素數間隙, k 元組猜想, 素數乘積, 素數四元組, 素數三元組, 性感素數, 孿生素數

使用 探索

參考文獻

Cohen, H. "Hardy-Littlewood 常數的高精度計算"。預印本。 http://www.math.u-bordeaux.fr/~cohen/hardylw.dvi.Forbes, T. "大型素數四元組。" 1998 年 9 月 17 日。 http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind9809&L=nmbrthry&P=992.Forbes, T. "素數簇和 Cunningham 鏈。" Math. Comput. 68, 1739-1748, 1999.Forbes, T. "素數 k-元組。" http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm.Gardner, M. "數學遊戲。" Sci. Amer. 243, 1980 年 12 月。Guy, R. K. "素數的模式。" §A9 in 數論中未解決的問題，第 2 版。 紐約：Springer-Verlag, pp. 23-25, 1994.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. 數論導論，第 5 版。 牛津，英格蘭：Clarendon Press, 1979.Rivera, C. "問題與謎題：謎題 016-連續素數和結尾數字。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_016.htm.Smith, H. F. "關於素數對問題的一種推廣。" Math. Tables Aids Comput. 11, 249-254, 1957.Le Lionnais, F. 卓越的數字。 巴黎：Hermann, p. 38, 1983.Riesel, H. 素數和計算機分解方法，第 2 版。 波士頓，MA：Birkhäuser, pp. 60-74, 1994.Sloane, N. J. A. "整數序列線上百科全書"中的序列 A008407 和 A114907。

在 中引用

素數星座

引用為

Weisstein, Eric W. "素數星座。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PrimeConstellation.html

主題分類