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孿生素數

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孿生素數是 素數 形式 (p, p+2) 的對。術語“孿生素數”由 Paul Stäckel (1862-1919; Tietze 1965, p. 19) 創造。前幾個孿生素數是 n+/-1 對於 n=4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, 150, 180, 192, 198, 228, 240, 270, 282, ... (OEIS A014574)。明確地，這些是 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... (OEIS A001359 和 A006512)。

除了 (3, 5) 之外的所有孿生素數都是 形式 6n+/-1。

據推測，存在無限多個孿生素數（這是 孿生素數猜想 的一種形式），但證明這一點仍然是數論中最難以捉摸的開放問題之一。布朗定理 是關於孿生素數的重要結果，該定理指出，奇數孿生素數的倒數之和，

B=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/(11)+1/(13))+(1/(17)+1/(19))+...,
(1)

收斂到一個確定的數字（“布朗常數”），這表達了孿生素數的稀缺性，即使它們有無限多個 (Ribenboim 1996, p. 201)。相比之下，所有素數倒數的級數發散到無窮大，這可以從 梅爾滕斯第二定理 中得出，令 x->infty。

下表給出了前幾個孿生素數 (p, p, p+2)、表兄弟素數 (p, p+4)、性感素數 (p, p+6) 等的 p。

對OEIS第一個成員
(p, p+2)A0013593, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, ...
(p, p+4)A0232003, 7, 13, 19, 37, 43, 67, 79, ...
(p, p+6)A0232015, 7, 11, 13, 17, 23, 31, 37, ...
(p, p+8)A0232023, 5, 11, 23, 29, 53, 59, 71, ...
(p, p+10)A0232033, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, ...
(p, p+12)A0461335, 7, 11, 17, 19, 29, 31, 41, ...

設 pi_2(n) 為孿生素數 p 和 p+2 的數量，使得 p<=n。素數 (Wells 1986, p. 41; Shanks 1993) 是否有無限個這樣的素數尚不清楚，但似乎幾乎可以肯定是真的 (Hardy and Wright 1979, p. 5)。

J. R. Chen 已經證明存在無限多個 素數 p，使得 p+2 最多有兩個因子 (Le Lionnais 1979, p. 49)。Brun 證明存在一個可計算的 整數 x_0，使得如果 x>=x_0，則

pi_2(x)<(100x)/((lnx)^2)
(2)

(Ribenboim 1996, p. 261)。已經證明

pi_2(x)<=cproduct_(p>2)[1-1/((p-1)^2)]x/((lnx)^2)[1+O((lnlnx)/(lnx))],
(3)

更簡潔地寫成

pi_2(x)<=cPi_2x/((lnx)^2)[1+O((lnlnx)/(lnx))],
(4)

其中 Pi_2 被稱為 孿生素數常數，c 是另一個常數。常數 c 已被簡化為 68/9 approx 7.5556 (Fouvry and Iwaniec 1983), 128/17 approx 7.5294 (Fouvry 1984), 7 (Bombieri et al. 1986), 6.9075 (Fouvry and Grupp 1986), 6.8354 (Wu 1990) 和 6.8325 (Haugland 1999)。後一個計算涉及 7 重積分的評估和三個不同引數的擬合。

Hardy 和 Littlewood (1923) 推測 c=2 (Ribenboim 1996, p. 262)，並且 pi_2(x) 漸近地等於

pi_2(x)∼2Pi_2int_2^x(dx)/((lnx)^2).
(5)

這個結果有時被稱為強 孿生素數猜想，並且是 k 元組猜想 的一個特例。孿生素數猜想成立的 必要（但不是 充分）條件是 素數間隙 常數，定義為

Delta=limsup_(n->infty)(p_(n+1)-p_n)/(p_n),
(6)

其中 p_n 是第 n 個素數，d_n=p_(n+1)-p_n 是 素數差函式，滿足 Delta=0。

Wolf 指出，公式

pi_2(x)∼2Pi_2([pi(x)]^2)/x,
(7)

（其漸近增長為 ∼Pi_2x/(lnx)^2）比 Pi_2x/(lnx)^2 更符合數值資料，但不如 Pi_2Li_2(x)。

Wolf 擴充套件了 Brent 在 1974 年或 1975 年所做的搜尋，尋找孿生素數的 Skewes 數 的類似物，即一個 x，使得 pi_2(x)-Pi_2Li_2(x) 改變符號。Wolf 檢查了高達 2^(42) 的數字，發現超過 90000 個符號變化。根據這些資料，Wolf 推測 nu(n) 的符號變化數 x<n 的 pi_2(x)-Pi_2Li_2(x) 由下式給出

nu(n)∼(sqrt(n))/(lnn).
(8)

證明這個猜想也將意味著無限多個孿生素數的存在。

截至 2016 年 9 月，已知的最大孿生素數對應於

2996863034895·2^(1290000)+/-1,
(9)

每個都有 388342 位十進位制數字，由 PrimeGrid 於 2011 年 12 月 25 日發現 (http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1#records)。

1995 年，Nicely 透過計算 824633702441 和 824633702443 的倒數發現 Intel® PentiumTM 微處理器中的一個缺陷，這些倒數應該精確到小數點後 19 位，但從小數點後第十位開始就不正確了 (Cipra 1995, 1996; Nicely 1996)。

如果 n>=2，則 整數 n 和 n+2 形成一對孿生素數 當且僅當

4[(n-1)!+1]+n=0 (mod n(n+2)).
(10)

n=pp^' 其中 (p,p^') 是一對孿生素數 當且僅當

phi(n)sigma(n)=(n-3)(n+1)
(11)

(Ribenboim 1996, p. 259)。S. M. Ruiz 發現了一個意想不到的結果，即 (n,n+2) 是孿生素數 當且僅當

sum_(i=1)^ni^a(|_(n+2)/i_|+|_n/i_|)=2+n^a+sum_(i=1)^ni^a(|_(n+1)/i_|+|_(n-1)/i_|)
(12)

對於 a>=0，其中 |_x_| 是 向下取整函式。

pi_2(n) 的值由 Brent (1976) 發現，最高達 n=10^(11)。T. Nicely 在計算 布朗常數 時將它們計算到 10^(14)。Fry et al. (2001) 和 Sebah (2002) 獨立獲得了 pi_2(10^(16))，使用了分散式計算。下表給出了 pi_2(10^n) 的已知值 (OEIS A007508; Ribenboim 1996, p. 263; Nicely 1999; Sebah 2002)。

npi_2(n)
10^335
10^4205
10^51224
10^68169
10^758980
10^8440312
10^93424506
10^(10)27412679
10^(11)224376048
10^(12)1870585220
10^(13)15834664872
10^(14)135780321665
10^(15)1177209242304
10^(16)10304195697298

據推測，除了有限數量的例外，每個偶數都是一對孿生素數的和，這些例外的最初幾項是 2、4、94、96、98、400、402、404、514、516、518、... (OEIS A007534; Wells 1986, p. 132)。

另請參閱

Bitwin 鏈, 布朗常數, 表兄弟素數, 狄波利尼亞克猜想, 素數算術級數, 素數星座, 素數間隙, 性感素數, 孿生合數, 孿生素數簇, 孿生素數猜想, 孿生素數常數

使用 探索

參考文獻

Bombieri, E.; Friedlander, J. B.; and Iwaniec, H. "Primes in Arithmetic Progression to Large Moduli." Acta Math. 156, 203-251, 1986.Bradley, C. J. "The Location of Twin Primes." Math. Gaz. 67, 292-294, 1983.Brent, R. P. "Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes." Math. Comput. 29, 43-56, 1975.Brent, R. P. "UMT 4." Math. Comput. 29, 221, 1975.Brent, R. P. "Tables Concerning Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes to 10^(11)." Math. Comput. 30, 379, 1976.Caldwell, C. http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1.Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Twin Primes." http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/twin.html.Cipra, B. "How Number Theory Got the Best of the Pentium Chip." Science 267, 175, 1995.Cipra, B. "Divide and Conquer." What's Happening in the Mathematical Sciences, 1995-1996, Vol. 3. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 38-47, 1996.Fouvry, É. "Autour du théorème de Bombieri-Vinogradov." Acta Math. 152, 219-244, 1984.Fouvry, É. and Grupp, F. "On the Switching Principle in Sieve Theory." J. reine angew. Math. 370, 101-126, 1986.Fouvry, É. and Iwaniec, H. "Primes in Arithmetic Progressions." Acta Arith. 42, 197-218, 1983.Fry, P.; Nesheiwat, J.; and Szymanski, B. K. "Experiences with Distributed Computation of Twin Primes Distribution." In Progress in Computer Research, Vol. 2. (Ed. F. Columbus). Commack, NY: Nova Science Pub., pp. 187-203, 2001.Gardner, M. "Patterns in Primes are a Clue to the Strong Law of Small Numbers." Sci. Amer. 243, 18-28, Dec. 1980.Gourdon, X. and Sebah, P. "Introduction to Twin Primes and Brun's Constant Computation." http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html.Guy, R. K. "Gaps between Primes. Twin Primes." §A8 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 19-23, 1994.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.Haugland, J. K. Application of Sieve Methods to Prime Numbers. Ph.D. thesis. Oxford, England: Oxford University, 1999.Indlekofer, K. H. and Járai, A. "Largest Known Twin Primes." Math. Comput. 65, 427-428, 1996.Indlekofer, K. H. and Járai, A. "Largest Known Twin Primes and Sophie Germain Primes." Math. Comput. 68, 1317-1324, 1999.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1979.Nicely, T. R. "The Pentium Bug." http://www.trnicely.net/pentbug/pentbug.html.Nicely, T. R. "Enumeration to 10^(14) of the Twin Primes and Brun's Constant." Virginia J. Sci. 46, 195-204, 1996. http://www.trnicely.net/twins/twins.html.Nicely, T. R. "New Maximal Prime Gaps and First Occurrences." Math. Comput. 68, 1311-1315, 1999.Nyman, B. and Nicely, T. R. "New Prime Gaps Between 10^(15) and 5×10^(16)." J. Int. Seq. 6, 1-6, 2003.Parady, B. K.; Smith, J. F.; and Zarantonello, S. E. "Largest Known Twin Primes." Math. Comput. 55, 381-382, 1990.Ribenboim, P. "Twin Primes." §4.3 in The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, pp. 259-265, 1996.Sebah, P. "Counting Twin Primes and Brun's Constant New Computation" 22 Aug 2002. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0208&L=nmbrthry&P=1968.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, p. 30, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A001359/M2476, A006512/M3763, A007508/M1855, A007534, and A014574 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tietze, H. "Prime Numbers and Prime Twins." Ch. 1 in Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, pp. 1-20, 1965.Weintraub, S. "A Prime Gap of 864." J. Recr. Math. 25, 42-43, 1993.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 41, 1986.Wolf, M. "On Twin and Cousin Primes." http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/.Wolf, M. "Some Conjectures on the Gaps Between Consecutive Primes." http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/.Wu, J. "Sur la suite des nombres premiers jumeaux." Acta. Arith. 55, 365-394, 1990.

在 上被引用

孿生素數

請引用為

Weisstein, Eric W. “孿生素數。”來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TwinPrimes.html

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