k-元組猜想

哈代-李特爾伍德猜想的第一個猜想。k-元組猜想指出，素數星座的漸近數量可以被明確地計算出來。 特別是，除非存在平凡的可除性條件阻止 , , ..., 無限次地由 素數 組成，否則這樣的 素數星座 將以漸近密度出現，該漸近密度可以用 , ..., 計算。 設 ，則 k-元組猜想預測，使得 , , ..., 均為 素數 的素數 的數量為

(1)

其中

(2)

乘積是對 奇素數 取的，並且

(3)

表示 0, , ..., (mod ) 的不同餘數的數量 (Halberstam and Richert 1974, Odlyzko 等人 1999)。 如果 ，則變為

(4)

這個猜想普遍被認為是正確的，但尚未被證明 (Odlyzko 等人 1999)。

孿生素數猜想

(5)

是 k-元組猜想在 時的特例，其中 被稱為 孿生素數常數。

以下猜想的特殊情況有時被稱為素數模式猜想。 設 為一個 有限 整數 集合。 那麼猜想存在無限多個 ，使得 均為 素數，當且僅當 當且僅當 不包括任何 素數 的所有 餘數。 這個猜想也暗示存在任意長的 素數算術級數。