有兩個相關的猜想，都稱為孿生素數猜想。第一個版本指出，存在無限多對孿生素數（Guy 1994，第 19 頁）。目前尚不清楚是否存在無限多個這樣的素數（Wells 1986，第 41 頁；Shanks 1993，第 30 頁），但這似乎幾乎肯定是正確的。雖然 Hardy 和 Wright（1979，第 5 頁）指出“當詳細檢查證據時，似乎證明了該猜想是合理的”，而 Shanks（1993，第 219 頁）更強烈地表示“證據是壓倒性的”，但 Hardy 和 Wright 也指出，此類猜想的證明或反證“目前超出了數學的能力範圍”。
Arenstorf（2004）發表了一個據稱證明該猜想的證明（Weisstein 2004）。不幸的是，在該證明中發現了一個嚴重的錯誤。因此，該論文被撤回，孿生素數猜想仍然完全開放。
關於存在無限多個索菲·熱爾曼素數的猜想，即素數 
使得 
也是素數，這與孿生素數猜想非常密切相關（Shanks 1993，第 30 頁）。
第二個孿生素數猜想指出，在計算以 
結尾的 Brun常數 時，新增一個與 
成比例的校正項，將給出誤差小於 
的估計值。這個猜想的擴充套件形式，有時稱為強孿生素數猜想（Shanks 1993，第 30 頁）或第一個 Hardy-Littlewood 猜想，指出孿生素數 
小於或等於 
的數量 
漸近等於
 |
其中 
是所謂的孿生素數常數（Hardy 和 Littlewood 1923）。上面繪製了 
的值，適用於 
，其中藍色表示 
，並且取 
。
這個猜想是更一般的 k-元組猜想（也稱為第一個 Hardy-Littlewood 猜想）的一個特例，它對應於集合 
。
