素數算術級數

素數算術級數是一系列形如 of the form 的素數集合，其中 和 是固定的， 是連續的，即 。例如，199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 是一個公差為 210 的 10 項素數算術級數。

長期以來，人們一直推測存在任意長的 primes 素數算術級數序列 (Guy 1994)。早在 1770 年，拉格朗日和沃林就研究了 個素數算術級數的公差必須有多大。1923 年，哈代和小伍德 (1923) 提出了一個非常普遍的猜想，稱為 k-元組猜想，關於 prime constellations 素數星座的分佈，其中包括存在無限長的素數算術級數的假設，作為一個特例。範德科皮特 (1939) 隨後取得了重要的理論進展，他證明了存在無限多組素數三元組算術級數，以及希思-布朗 (1981)，他證明了存在無限多組四項級數，由三個素數和一個素數或 semiprime 半素陣列成。

然而，儘管付出了所有這些努力，但對於任意長的素數序列的一般結果的證明仍然是一個懸而未決的猜想 (Guy 1994, p. 15)。感謝本·格林和陶哲軒的新工作，這個猜想似乎終於得到了肯定的解決。在最近發表的預印本中，格林和陶 (2004) 使用一個重要的結果，稱為 Szemerédi's theorem 塞邁雷迪定理，結合戈德斯通和伊爾迪裡姆的最新工作、巧妙的“轉移原理”以及 48 頁密集且技術性的數學，顯然確立了基本定理，即素數確實包含長度為 的算術級數，對於所有 (Weisstein 2004)。然而，該證明是 nonconstructive 非構造性的。

令 為一個遞增的 個 primes 素數算術級數，最小公差為 。如果一個 prime 素數 不能整除 ，那麼 的元素必須假設模 的所有餘數，具體來說， 的某個元素必須可以被 整除。由於 僅包含素數，因此該元素必須等於 。

令形如 且小於 的素數個數表示為 。那麼

(1)

其中 是 logarithmic integral 對數積分， 是 totient function 尤拉函式。

令 表示 的 primorial 素數階乘。那麼如果 ，則某些素數 不能整除 ，並且該素數 在 中。因此，為了確定 是否具有 ，僅需要檢查有限數量的可能的 (那些具有 並且包含素數 的 ) 以檢視它們是否僅包含素數。如果不是，則 。如果 ，則 的元素不能覆蓋任何素數 的所有餘數。然後 k-元組猜想 斷言，存在無限多個公差為 的素數算術級數。

計算表明，對於 , 2, 3, ...，算術級數中包含 個或更多 primes 素數的集合的最小可能公差為 0, 1, 2, 6, 6, 30, 150, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, 510510, ... (OEIS A033188, Ribenboim 1989, Dubner 和 Nelson 1997)。高達 的值是嚴格的，而其餘值是下限，假設 k-元組猜想 的有效性，並且簡單地由 給出。具有最小差異的 個素數算術級數的最小首項為 2, 2, 3, 5, 5, 7, 7, 199, 199, 199, 60858179, 147692845283, 14933623, 834172298383, ... (OEIS A033189; Wilson)。

對於非最小 項級數，更小的首項是可能的。示例包括 k=0, 1, ..., 7 的 8 項級數 ，k=0, 1, ..., 11 的 12 項級數 (Golubev 1969, Guy 1994)，以及 k=0, 1, ..., 12 的 13 項算術級數 (Guy 1994)。

下表總結了對於小 值，已知的最大 個素數算術級數，其中

(2)

	n=0, 1, ..., 的素數	位數	參考
3		137514	J. K. Anderson et al. (2007)
4		11961	K. Davis (2008)
5		6913	D. Broadhurst (2008)
6		1606	K. Davis (2006)
7		1290	K. Davis (2006)
8		1037	P. Underwood (2003)
9		401	M. Oakes (2006)

安德森維護了一個更完整的表格。

算術級數中最小的六個連續 primes 素數序列是

(3)

對於 , 1, ..., 5 (Lander 和 Parkin 1967, Dubner 和 Nelson 1997)。

已知最大的算術級數中三個連續素數的情況是 ，由 T. Alm, H. Rosenthal, J. K. Andersen 和 R. Ballinger 於 2003 年發現。

已知最大的算術級數中連續 primes 素數序列（即，級數中第一個和最後一個項之間的所有數字，除了成員本身之外，都是合數）是十個，由

(4)

對於 , 1, ..., 9 (OEIS A033290) 給出，由 Harvey Dubner, Tony Forbes, Manfred Toplic, et al. 於 1998 年 3 月 2 日發現。根據 Dubner et al., 的說法，計算機速度需要提高一萬億倍，才能實際搜尋 11 個連續素數的序列，因此他們預計十個素數的記錄將在很長一段時間內保持不變。

這打破了同一批研究人員於 1998 年 1 月 15 日創下的九個連續素數的記錄，

(5)

對於 , 1, ..., 8 （現在已知兩個九個序列），八個連續素數的級數由

(6)

對於 , 1, ..., 7 給出，由 Harvey Dubner, Tony Forbes, et al. 於 1997 年 11 月 7 日發現（現在已知幾個），以及七個的級數由

(7)

對於 , 1, ..., 6 給出，由 H. Dubner 和 H. K. Nelson 於 1995 年 8 月 29 日發現 (Peterson 1995, Dubner 和 Nelson 1997)。