素數間隙

長度為 的素數間隙是指在兩個連續素數之間存在 個連續的 合數。因此，兩個連續素數 和 之間，長度為 的素數間隙的差為 ，其中 是第 個 素數。由於 素數差函式

(1)

始終是偶數（除了 ），所有素數間隙 也都是偶數。符號 通常用於表示與長度為 的素數間隙的起始位置相對應的最小素數 ，即，使得 是素數，、、...、 都是合數，並且 是素數（附加約束是，不存在滿足這些性質的更小的數）。

最大素數間隙 是指起始於小於某個最大值 的素數 的最大素數間隙的長度。對於 , 2, ..., 的值由 4, 8, 20, 36, 72, 114, 154, 220, 282, 354, 464, 540, 674, 804, 906, 1132, ... (OEIS A053303) 給出。

任意大的素數間隙都存在。例如，對於任何 ，數字 , , ..., 都是合數 (Havil 2003, p. 170)。然而，對於確定首次出現和最大素數間隙，除了窮舉搜尋之外，沒有已知的更復雜的一般方法 (Nicely 1999)。

Cramér (1937) 和 Shanks (1964) 推測：

(2)

Wolf 推測了一個稍微不同的形式：

(3)

這與數值證據更吻合。

Wolf 推測，小於 的兩個連續素數之間的最大間隙 大約出現在：

(4)

其中 是 素數計數函式， 是 孿生素數常數。設定 對於大的 ，簡化為 Cramér 的猜想：

(5)

已知在 之後存在長度為 803 的素數間隙，在 之後存在長度為 的素數間隙 (Baugh and O'Hara 1992)。H. Dubner (2001) 發現了一個長度為 的素數間隙，位於兩個 3396 位 可能素數 之間。2004 年 1 月 15 日，J. K. Andersen 和 H. Rosenthal 發現了一個長度為 的素數間隙，位於兩個各有 位的機率素數之間。在 2004 年 1 月至 5 月，Hans Rosenthal 和 Jens Kruse Andersen 發現了一個長度為 的素數間隙，位於兩個各有 位的機率素數之間 (Anderson 2004)。

素數間隙的優值將間隙的大小與區域性平均間隙進行比較，由 給出。1999 年，發現了數字 1693182318746371，其優值為 。這一記錄優值一直保持到 2005 年，當時發現了 804212830686677669，間隙為 1442，優值為 。Andersen 維護著一個前 20 個已知優值的列表。優值遞增的素數間隙為 2, 3, 7, 113, 1129, 1327, 19609, ... (OEIS A111870)。

Young 和 Potler (1989) 確定了直到 的素數間隙的首次出現，所有首次出現都在 1 到 673 之間找到。Nicely (1999) 擴充套件了最大素數間隙的列表。下表給出了小 的 值，省略了作為更大 執行的一部分的退化執行 (OEIS A005250 和 A002386)。

1	2	354
2	3	382
4	7	384
6	23	394
8	89	456
14	113	464
18	523	468
20	887	474
22		486
34		490
36		500
44		514
52		516
72		532
86		534
96		540
112		582
114		588
118		602
132		652
148		674
154		716
180		766
210		778
220		804
222		806
234		906
248		916
250		924
282
288
292
320
336

定義

(6)

為第 個素數差與第 個素數的 自然對數 的比率的 下確界極限。如果存在無限多的 孿生素數，則 。這是因為那時必須為真 無限次，例如在 對於 , 2, ...，因此 孿生素數猜想 成立的 必要 條件是：

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

然而，這個條件不是 充分 的，因為如果將 2 替換為任何常數，則相同的證明也適用。

Hardy 和 Littlewood 在 1926 年證明，在 廣義黎曼猜想 為真的前提下，。Rankin 隨後將其改進為 （同樣假設廣義黎曼猜想）。1940 年，Erdős 首次在沒有假設的情況下使用篩法證明 。隨後，這個值被改進為 15/16 (Ricci), (Bombieri and Davenport 1966), 和 (Pil'Tai 1972)，引自 Le Lionnais (1983, p. 26)。Huxley (1973, 1977) 得到 ，Maier 在 1986 年將其改進為 ，這是 2003 年之前已知的最佳結果 (美國數學研究所)。

在 2003 年 3 月於德國奧伯沃爾法赫舉行的關於初等和解析數論的會議上，Goldston 和 Yildirim 提出了一個試圖證明 的證明。雖然最初的證明被證實是有缺陷的 (Mackenzie 2003ab)，但該結果現在已透過新的證明確立 (美國數學研究所 2005, Cipra 2005, Devlin 2005, Goldston et al. 2005ab)。