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伯特蘭-切比雪夫定理

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伯特蘭-切比雪夫定理，也稱為伯特蘭猜想或切比雪夫定理，指出如果 n>3，則在 n 和 2n-2 之間總是至少存在一個質數 p。等價地，如果 n>1，那麼總是至少存在一個質數 p 使得 n<p<2n。這一猜想最初由伯特蘭於 1845 年提出 (Bertrand 1845; Nagell 1951, p. 67; Havil 2003, p. 25)。切比雪夫於 1850 年使用非初等方法證明了該定理 (Chebyshev 1854; Havil 2003, p. 25; Derbyshire 2004, p. 124)，因此有時也稱為切比雪夫定理。第一個初等證明是由拉馬努金給出的，後來在 1932 年被 19 歲的埃爾德什改進。

關於伯特蘭-切比雪夫定理有一首短詩說，“切比雪夫說過，但我再說一遍；在 n 和 2n 之間總有一個質數。” 雖然通常將這句話歸功於埃爾德什或一些其他匈牙利數學家在埃爾德什年輕時重新證明該定理時 (Hoffman 1998)，但實際上這句話出自 N. J. Fine (Schechter 1998)。

這個結果的一個擴充套件是，如果 n>k，那麼在序列 n, n+1, ..., n+k-1 中存在一個包含質因數 >k 的數。（情況 n=k+1 對應於伯特蘭-切比雪夫定理。）這首先由西爾維斯特證明，然後由舒爾獨立證明，埃爾德什給出了一個簡單的證明 (1934; Hoffman 1998, p. 37)

對於 n=1, 2, ...， n 和 2n-2 之間的質數個數為 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, ... (OEIS A077463)，而 n 和 2n 之間的質數個數為 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 3, ... (OEIS A060715)。對於 n=1, 2, ...，NP(n) 的值為 2, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 11, 11, 11, 13, 13, 17, 17, 17, 17, 19, ... (OEIS A007918)，其中 NP(n) 是下一個質數函式。

在證明伯特蘭-切比雪夫定理之後，拉馬努金 (1919) 證明了廣義化形式，即 pi(x)-pi(x/2)>=1, 2, 3, 4, 5, ... 如果 x>=2, 11, 17, 29, 41, ... (OEIS A104272)， 分別地，其中 pi(x) 是素數計數函式。這些數有時被稱為拉馬努金素數。對於所有 x>=2，情況 pi(x)-pi(x/2)>=1 是伯特蘭-切比雪夫定理。

一個相關的問題是找到 theta 的最小值，使得對於足夠大的 n，在 n 和 n+O(n^theta) 之間至少存在一個質數 (Berndt 1994)。已知的最小值是 theta=6/11+epsilon (Lou and Yao 1992)。

參見

德波利尼亞克猜想, 蘭道問題, 下一個質數, 質數, 拉馬努金素數

本條目部分內容由 Jonathan Sondow (作者連結) 貢獻

使用 探索

參考文獻

Aigner, M. and Ziegler, G. M. Proofs from the Book, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2000.Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, p. 135, 1994.Bertrand, J. "Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme." J. l'École Roy. Polytech. 17, 123-140, 1845.Chebyshev, P. "Mémoire sur les nombres premiers." Mém. Acad. Sci. St. Pétersbourg 7, 17-33, (1850) 1854. Reprinted as §1-7 in Œuvres de P. L. Tschebychef, Tome I. St. Pétersbourg, Russia: Commissionaires de l'Academie Impériale des Sciences, pp. 51-64, 1899.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.Dickson, L. E. "Bertrand's Postulate." History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 435-436, 2005.Erdős, P. "Ramanujan and I." In Proceedings of the International Ramanujan Centenary Conference held at Anna University, Madras, Dec. 21, 1987. (Ed. K. Alladi). New York: Springer-Verlag, pp. 1-20, 1989.Erdős, P. "A Theorem of Sylvester and Schur." J. London Math. Soc. 9, 282-288, 1934.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Bertrand's Postulate and a 'Formula' for Primes." §22.3 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 343-345 and 373, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.Lou, S. and Yau, Q. "A Chebyshev's Type of Prime Number Theorem in a Short Interval (II)." Hardy-Ramanujan J. 15, 1-33, 1992.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 70, 1951.Ramanujan, S. "A Proof of Bertrand's Postulate." J. Indian Math. Soc. 11, 181-182, 1919.Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 208-209, 2000.Schechter, B. My Brain is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdős. New York: Simon and Schuster, 1998.Séroul, R. Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 7-8, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A007918, A060715, A077463, and A104272 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

請引用本文為

Sondow, Jonathan 和 Weisstein, Eric W. “伯特蘭-切比雪夫定理。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BertrandsPostulate.html

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