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格拉姆點

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設 theta(t) 為黎曼-西格爾函式。滿足以下條件的唯一值 g_n

theta(g_n)=pin
(1)

其中 n=0, 1, ... 被稱為格拉姆點 (Edwards 2001, pp. 125-126)。

格拉姆點 g_n 的一個極佳近似可以透過使用 theta(t) 的漸近展開式的前幾項並反演得到

g_n approx 2piexp[1+W((8n+1)/(8e))],
(2)

其中 W(z) 是 Lambert W 函式。此近似對於 n=0 給出 2.2×10^(-3) 的誤差，到 n=10 減小到 3.5×10^(-4)。

下表給出了前幾個格拉姆點。

nOEISg_n
0A11485717.8455995404
1A11485823.1702827012
227.6701822178
331.7179799547
435.4671842971
538.9992099640
642.3635503920
745.5930289815
848.7107766217
951.7338428133
1054.6752374468

最接近這些點的整數是 18, 23, 28, 32, 35, 39, 42, 46, 49, 52, 55, 58, ... (OEIS A002505)。

存在一個唯一的點，其中 g_n=n, 由方程的解給出

theta(n^*)=pin^*
(3)

並具有數值

n^*=9146.69819317...
(4)

(OEIS A114893)。

通常情況下 R[zeta(1/2+ig_n)]=(-1)^nZ(g_n)>0。不成立的 n 值是 n=126, 134, 195, 211, 232, 254, 288, ... (OEIS A114856)，其中前兩個由 Hutchinson (1925) 發現。

另請參閱

格拉姆定律, 黎曼-西格爾函式, 黎曼 Zeta 函式

使用 探索

參考文獻

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.Gram, J.-P. "Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann." Acta Math. 27, 289-304, 1903.Haselgrove, C. B. and Miller, J. C. P. "Tables of the Riemann Zeta Function." Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 58, 1960.Hutchinson, J. I. "On the Roots of the Riemann Zeta-Function." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49-60, 1925.Sloane, N. J. A. Sequences A002505/M5052, A114856, A114857, A114858, and A114893 Sloane, N. J. A. Sequences

在 中被引用

格拉姆點

請引用為

Weisstein, Eric W. “格拉姆點。” 來自 Web Resource。 https://mathworld.tw/GramPoint.html

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