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梅爾滕斯猜想

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MertensConjecture

給定由下式定義的 梅爾滕斯函式

M(n)=sum_(k=1)^nmu(k),
(1)

其中 mu(n) 是 莫比烏斯函式，斯蒂爾傑斯在 1885 年給埃爾米特的信中聲稱 M(x)x^(-1/2) 保持在兩個固定的界限內，他認為這兩個界限可能可以取為 +/-1 (Havil 2003, p. 208)。同年，斯蒂爾傑斯 (1885) 聲稱他有一個一般結果的證明。然而，斯蒂爾傑斯在這個主張中似乎是錯誤的（Derbyshire 2004, pp. 160-161）。梅爾滕斯 (1897) 隨後發表了一篇論文，根據對 M(10^4) 的計算，他認為斯蒂爾傑斯的主張

|M(x)|<x^(1/2)
(2)

對於 x>1 是“非常有可能的”。

梅爾滕斯猜想具有重要的意義，因為任何等式 形式 的真理

|M(n)|<=cn^(1/2)
(3)

對於任何固定的 c （梅爾滕斯猜想的形式為 c=1）將意味著 黎曼猜想。事實上，宣告

M(n)=O(n^(1/2+epsilon))
(4)

對於任何 epsilon<1/2 等價於 黎曼猜想 (Derbyshire 2004, p. 251)。

梅爾滕斯 (1897) 驗證了 n<10000 的猜想，馮·斯特內克 (1912; Deléglise and Rivat 1996) 隨後將其擴充套件到 n<500000。奧德利茲科和特·裡勒 (1985) 證明了梅爾滕斯猜想是錯誤的。他們的證明是間接的，沒有產生具體的反例，但它表明

limsup_(n->infty)M(n)n^(-1/2)>1.06
(5)
liminf_(n->infty)M(n)n^(-1/2)<-1.009
(6)

(Havil 2003, p. 209)。奧德利茲科和特·裡勒 (1985) 認為，對於 n<=10^(20) 甚至 10^(30)，梅爾滕斯猜想都沒有反例，這使得斯蒂爾傑斯所謂的證明受到了非常強烈的質疑（Derbyshire 2004, p. 161）。

平茨 (1987) 隨後表明，至少有一個對該猜想的反例發生在 n<exp(3.21×10^(64)) 時 (Havil 2003, p. 209)，使用 M(x)/x 的加權積分平均值和涉及 黎曼 zeta 函式 的非平凡零點的離散和。仍然不知道 n 的哪個值首次使 |M(n)|>sqrt(n) 成立，但已知它超過 10^(14) (te Riele 2006)，改進了之前 10^(13) (Lioen and van de Lune 1994) 和 10^(12) (Dress 1993; Deléglise and Rivat 1996) 的最佳結果。

目前仍不清楚是否

limsup_(n->infty)|M(n)|n^(-1/2)=infty,
(7)

雖然這似乎非常有可能 (Odlyzko and te Riele 1985)。

另請參閱

梅爾滕斯函式, 莫比烏斯函式, 黎曼猜想

使用 探索

參考文獻

Anderson, R. J. "On the Mertens Conjecture for Cusp Forms." Mathematika 26, 236-249, 1979.Anderson, R. J. "Corrigendum: 'On the Mertens Conjecture for Cusp Forms.' " Mathematika 27, 261, 1980.Deléglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Möbius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996.Derbyshire, J. 素數 Obsession：Bernhard Riemann 和數學中最偉大的未解問題。 New York: Penguin, 2004.Devlin, K. "The Mertens Conjecture." Irish Math. Soc. Bull. 17, 29-43, 1986.Dress, F. "Fonction sommatoire de la fonction de Möbius; 1. Majorations expérimentales." Experiment. Math. 2, 93-102, 1993.Grupp, F. "On the Mertens Conjecture for Cusp Forms." Mathematika 29, 213-226, 1982.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於他的生活和工作提出的主題的十二次講座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 64, 1999.Havil, J. Gamma：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Jurkat, W. and Peyerimhoff, A. "A Constructive Approach to Kronecker Approximation and Its Application to the Mertens Conjecture." J. reine angew. Math. 286/287, 322-340, 1976.Lehman, R. S. "On Liouville's Functions." Math. Comput. 14, 311-320, 1960.Lioen, W. M. and van de Lune, J. "Systematic Computations on Mertens' Conjecture and Dirichlet's Divisor Problem by Vectorized Sieving." In 從通用態射到兆位元組：Baayen 空間奧德賽。在 P. C. Baayen 退休之際 (Ed. K. Apt, L. Schrijver, and N. Temme). Amsterdam, Netherlands: Stichting Mathematisch Centrum, Centrum voor Wiskunde en Informatica, pp. 421-432, 1994. http://walter.lioen.com/papers/LL94.pdf.Mertens, F. "Über eine zahlentheoretische Funktion." Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien IIa 106, 761-830, 1897.Odlyzko, A. M. and te Riele, H. J. J. "Disproof of the Mertens Conjecture." J. reine angew. Math. 357, 138-160, 1985.Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 and 346, 1987.Stieltjes, T. C. R. A. S. 1885.te Riele, H. J. J. "Some Historical and Other Notes About the Mertens Conjecture and Its Recent Disproof." Nieuw Arch. Wisk. 3, 237-243, 1985.te Riele, H. R. "The Mertens Conjecture Revisited." 7th Algorithmic Number Theory Symposium. Technische Universität Berlin, 23-28 July 2006. http://www.math.tu-berlin.de/~kant/ants/Proceedings/te_riele/te_riele_talk.pdf.von Sterneck, R. D. "Die zahlentheoretische Funktion sigma(n) bis zur Grenze 500000." Akad. Wiss. Wien Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. IIa 121, 1083-1096, 1912.

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. “梅爾滕斯猜想。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MertensConjecture.html

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