雙峰

對於一個整數 ，令 表示 的最小素因子。一對數對 整數 被稱為雙峰，如果

1. ,

2. ,

3. 對於所有 ， 意味著 。

最小素因子函式的折線圖類似於鋸齒狀的山脈地形。就這種地形而言，雙峰由兩座高度相等的山峰組成，它們之間沒有高度相等或更高的山峰。用 表示雙峰 的高度。根據最小素因子函式的定義， 必須是素數。

稱兩個雙峰 之間的距離為

(1)

那麼 必須是 的偶數倍；也就是說， 其中 是偶數。一個 的雙峰被稱為 -雙峰。因此，我們可以談論 -雙峰、-雙峰等等。一個 -雙峰完全由 、 和 指定，由此我們可以輕鬆計算出 。

-雙峰的集合是週期性的，週期為 ，其中 是 的素數階乘。也就是說，如果 是一個 -雙峰，那麼 也是。-基本雙峰是一個在基本週期 內具有 的雙峰。-基本雙峰的集合關於基本週期對稱；也就是說，如果 是 上的雙峰，那麼 也是。

David Wilson (私人交流，1997 年 2 月 10 日) 首次提出了雙峰的存在性問題。Wilson 已經私下表明高度為 的雙峰不太可能存在，但未能完全排除它們的存在。當天晚些時候，John H. Conway、Johan de Jong、Derek Smith 和 Manjul Bhargava 合作發現了第一個雙峰。在黑板上研究了兩個小時後，他們發現 承認 -雙峰

(2)

這解決了存在性問題。此後不久，Fred Helenius 發現了較小的 -雙峰，其中 和

(3)

現在的重點轉移到尋找承認 -雙峰的最小素數 。1997 年 2 月 12 日，Fred Helenius 發現了 ，它承認 240 個基本 -雙峰，其中最小的是

(4)

Helenius 的結果得到了 Dan Hoey 的證實，後者還計算了 -最小雙峰 和 -基本雙峰的數量 ，對於 、79 和 83。他的結果總結在下表中 (OEIS A009190)。

71	7310131732015251470110369	240
73	2061519317176132799110061	40296
79	3756800873017263196139951	164440
83	6316254452384500173544921	6625240

高度為 的 -雙峰是已知最小的雙峰。Wilson 發現了最小的已知 -雙峰，其中 ，以及另一個非常大的 -雙峰，其中 。Richard Schroeppel 指出，後一個雙峰位於其基本週期的高階，並且其在基本週期 內的反射較小。

關於雙峰，仍然存在許多未解決的問題，例如：

1. 最小的雙峰是什麼 (最小的 )？

2. 承認 -雙峰的最小素數 是什麼？

3. -雙峰是否存在？

4. 正如 Conway 所論證的那樣，雙峰的跨度是否存在上限？

5. 令 為素數。如果 和 各自承認 -雙峰，那麼 是否必然承認 -雙峰？