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安德里卡的猜想

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AndricasConjecture

安德里卡的猜想指出，對於第 p_n 個 n 素數，以下不等式成立：

A_n=sqrt(p_(n+1))-sqrt(p_n)<1

成立，其中離散函式 A_n 如上圖所示。 A_n 的最高值出現在 n=1、2 和 4 時，其中 A_4=sqrt(11)-sqrt(7) approx 0.670873，在前 10^5 個素數中沒有更大的值。由於 Andrica 函式隨著 n 的增大而漸近下降，因此需要越來越大的素數間隙才能使差值隨著 n 的增大而增大。因此，猜想似乎極有可能是正確的，儘管尚未得到證實。

PrimeDifference

A_n 與素數差函式非常相似（如上圖所示），其前幾個值是 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, ... (OEIS A001223)。

安德里卡猜想的一種推廣考慮了以下方程

p_(n+1)^x-p_n^x=1

並求解 x。最小的 x 是 x approx 0.567148 (OEIS A038458)，被稱為 Smarandache 常數，當 p_n=113 和 p_(n+1)=127 時出現 (Perez)。

另請參閱

布羅卡爾猜想, 克拉梅爾猜想, 好素數, 幸運素數, 波利亞猜想, 素數差函式, Smarandache 常數, 雙峰

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參考文獻

Andrica, D. "Note on a Conjecture in Prime Number Theory." Studia Univ. Babes-Bolyai Math. 31, 44-48, 1986.Golomb, S. W. "Problem E2506: Limits of Differences of Square Roots." Amer. Math. Monthly 83, 60-61, 1976.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 21, 1994.Perez, M. L. (Ed.). "Five Smarandache Conjectures on Primes." http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/conjprim.txt.Rivera, C. "Problems & Puzzles: Conjecture 008.-Andrica's Conjecture." http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm.Sloane, N. J. A. Sequences A001223/M0296 和 A038458 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wells, D. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. New York: Wiley, p. 13, 2005.

請引用為

Weisstein, Eric W. "Andrica's Conjecture." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AndricasConjecture.html

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