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波利亞猜想

令 n 為一個 正整數，且令 r(n) 為 n 的（不必相異的）素因數的數量（其中 r(1)=0）。令 O(m) 為小於等於 <=m 且有奇數個素因數的正整數的數量，且令 E(m) 為小於等於 <=m 且有偶數個素因數的正整數的數量。Pólya (1919) 猜想認為

L(m)=E(m)-O(m)=sum_(n=1)^mlambda(n)

是 <=0，其中 lambda(n) 是劉維爾函式。

該猜想於 1919 年提出，並於 1958 年被 Haselgrove 使用 Ingham (1942) 提出的方法證偽。Lehman (1960) 找到了第一個顯式反例 L(906180359)=1，而最小的反例 m=906150257 由 Tanaka (1980) 找到。使得 L(n)=0 的首幾個 n 為 n=2, 4, 6, 10, 16, 26, 40, 96, 586, 906150256, ... (Tanaka 1980, OEIS A028488)。目前尚不清楚 L(x) 是否會無限次地改變符號 (Tanaka 1980)。

參見

安德里卡猜想, 劉維爾函式, 素因數

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參考文獻

Haselgrove, C. B. "A Disproof of a Conjecture of Pólya." Mathematika 5, 141-145, 1958.Ingham, A. E. "On Two Conjectures in the Theory of Numbers." Amer. J. Math. 64, 313-319, 1942.Lehman, R. S. "On Liouville's Function." Math. Comput. 14, 311-320, 1960.Pólya, G. "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresber. deutschen Math.-Verein. 28, 31-40, 1919.Sloane, N. J. A. Sequence A028488 in "整數數列線上大全."Tanaka, M. "A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function" [sic]. Tokyo J. Math. 3, 187-189, 1980.

引用此文

Weisstein, Eric W. "波利亞猜想." 來自 —— 資源. https://mathworld.tw/PolyaConjecture.html

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