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e 連分數

e continued fraction binary plot

e 的簡單連分數表示形式為 [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] (OEIS A003417)。此連分數有時被稱為尤拉連分數。上方顯示了表示為二進位制位序列的連分數前 256 項的圖。

收斂項可以閉合形式表示為第一類合流超幾何函式的比率 (Komatsu 2007ab)，前幾項為 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, ... (OEIS A007676 和 A007677)。 它們的精度分別為 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, ... (OEIS A114539) 位十進位制數字。

其他連分數表示形式有

(e-1)/(e+1)=[0;2,6,10,14,...]
(1)
e-1=[1;1,2,1,1,4,1,1,6,...]
(2)
1/2(e-1)=[0;1,6,10,14,...]
(3)

(Olds 1963, pp. 135-136)。 令人驚訝的是，不僅 e 的連分數，而且 e 的有理次冪的連分數也顯示出規律性，例如

e^(1/2)=[1,1,1,1,5,1,1,9,1,1,13,...]
(4)
e^(1/3)=[1,2,1,1,8,1,1,14,1,1,20,...]
(5)
e^(1/4)=[1,3,1,1,11,1,1,19,1,1,27,...]
(6)
e^(1/5)=[1,4,1,1,14,1,1,24,1,1,34,...].
(7)

e 的一個優美的非簡單連分數由下式給出

e=2+1/(1+1/(2+2/(3+3/...)))
(8)

(Wall 1948, p. 348)。

EKhinchinLevy

設 e 的連分數表示為 [a_0;a_1,a_2,...]，並設收斂項的分母表示為 q_1, q_2, ..., q_n。 然後，上面的圖表顯示了 a_1^(1/1), (a_1a_2)^(1/2), ..., (a_1a_2...a_n)^(1/n) (左圖) 和 q_n^(1/n) (右圖) 的連續值。 從圖中可以看出，e 的連分數的規律性意味著 e 是一組測度為 0 的數字之一，它們的連分數序列不收斂於辛欽常數或萊維常數。

e 有一個非常規則的 Engel 展開式，即 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... (OEIS A000027)。

另請參閱

e, e 的數字, 尤拉連分數

使用 探索

參考文獻

Cohn, H. "A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e." Amer. Math. Monthly 113, 57-62, 2006.Komatsu, T. "Some Combinatorial Properties of the Leaping Convergents." Integers: Elec. J. Combin. Num. Th. 7, 1-10, 2007a.Komatsu, T. "Some Combinatorial Properties of the Leaping Convergents." In Proceedings of the Integers Conference 2005 in celebration of the 70th birthday of Ronald Graham held at the University of West Georgia, Carrollton, GA, October 27-30, 2005 (Ed. B. Landman, M. B. Nathanson, J. Nesetril, R. J. Nowakowski, and C. Pomerance). Berlin: de Gruyter, pp. 315-325, 2007b.Olds, C. D. Continued Fractions. New York: Random House, 1963.Olds, C. D. "The Simple Continued Fraction Expression of e." Amer. Math. Monthly 77, 968-974, 1970.Sloane, N. J. A. Sequences A000027/M0472, A003417/M0088, A007676/M0869, A007677/M2343, and A114539 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wall, H. S. Analytic Theory of Continued Fractions. New York: Chelsea, 1948.

請引用為

Weisstein, Eric W. "e 連分數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/eContinuedFraction.html

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