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Khinchin 常數

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設

x=[a_0;a_1,...]=a_0+1/(a_1+1/(a_2+1/(a_3+...)))
(1)

為“一般”實數 x 的簡單連分數，其中數字 a_i 是部分分母。Khinchin (1934) 考慮了幾何平均數的極限

G_n(x)=(a_1a_2...a_n)^(1/n)
(2)

當 n->infty 時。令人驚訝的是，除了測度為 0 的集合外，此極限是一個常數，獨立於 x，由下式給出

K=2.685452001...
(3)

(OEIS A002210)，如 Kac (1959) 所證明。

該常數被稱為 Khinchin 常數，通常也拼寫為 “Khintchine 常數”（Shanks 和 Wrench 1959，Bailey等人 1997）。

它被實現為Khinchin，其值被快取到 1100 位精度。然而，K 的數值以高精度計算非常困難，因此計算更多位數會越來越慢。

尚不清楚 K 是否是無理數，更不用說超越數了。

雖然已知幾乎所有數字 x 的極限 G_n(x) 趨近於 K，但對於任何顯式實數 x，例如，以基本常數表示的實數，尚未證明此事實（Bailey等人 1997）。

KhinchinsConstant

上面繪製了 (a_1,a_2,...,a_n)^(1/n) 的值，對於 n=1 到 500 以及 x=pi、sin1、尤拉-馬歇羅尼常數 gamma 和 Copeland-Erdős 常數 C。有趣的是，曲線的形狀幾乎與 Lévy 常數的相應曲線相同。

如果 p_n/q_n 是 nth 收斂子 的 連分數 x，則

lim_(n->infty)q_n^(1/n)=lim_(n->infty)((p_n)/x)^(1/n)
(4)
=e^(pi^2/(12ln2))
(5)
=3.27582...
(6)

(OEIS A086702) 對於幾乎所有實數 x (Lévy 1936, Finch 2003)，其中 ln2 是 2 的自然對數。這個數字有時被稱為 Lévy 常數。

K 的乘積表示式包括

K=product_(n=1)^infty[1+1/(n(n+2))]^(lnn/ln2)
(7)

(Shanks 和 Wrench 1959；Khinchin 1997，第 93 頁；Borwein 和 Bailey 2003，第 25 頁；Havil 2003，第 161 頁)，其中 lnn 是自然對數，以及

product_(k=1)^inftyk!^(Delta_k^3)lnk=K^(ln2),
(8)

其中 Delta_k^3 是三階有限差分運算元，後者是透過對通常乘積定義的（對數）應用三次分部求和獲得的（W. Gosper，私人通訊，2017 年 11 月 14 日）。

透過取兩邊的對數並使用 lnproduct_(k)a_k^(p_k)=sum_(k)p_klna_k，可以將此類乘積轉換為和。K 的和包括

K=exp[1/(ln2)sum_(m=1)^infty(H_(2m-1)^'[zeta(2m)-1])/m],
(9)

其中 zeta(z) 是黎曼 zeta 函式，H_n^' 是交錯調和數 (Bailey等人 1997)，

K=exp[1/(ln2)sum_(k=2)^infty((-1)^k(2-2^k)zeta^'(k))/k],
(10)

其中 zeta^'(z) 是 導數 的 黎曼 zeta 函式 (Gosper，私人通訊，1996 年 6 月 25 日)，而 Gosper 最初提出的（私人通訊，1996 年 6 月 25 日）且由 O. Pavlyk (私人通訊，2006 年 4 月 24 日) 簡化的極速收斂和由下式給出

K=exp{-zeta^'(2,2)+1/(ln2)[sum_(k=2)^infty2(-1)^kf(k)]},
(11)

其中

f(k)=(lnk)/((k+2)k^(k+2))[2^(k+1)_2F_1(1,k+2;k+3;-2/k)-_2F_1(1,k+2;k+3;-1/k)]+((2^k-1)zeta^'(k+1,k))/(k+1),
(12)

zeta(s,a) 是 Hurwitz zeta 函式，zeta^'(s,a)=partialzeta/partials，以及 _2F_1(a,b;c;z) 是 超幾何函式。

Khinchin 常數也由積分給出

K=2exp{1/(ln2)int_0^11/(x(1+x))ln[(pix(1-x^2))/(sin(pix))]dx}
(13)
=2exp[1/(ln2)int_0^11/(x(1+x))ln[Gamma(2-x)Gamma(2+x)]dx]
(14)

(Shanks 和 Wrench 1959) 和

K=exp[(pi^2)/(12ln2)+1/2ln2+1/(ln2)int_0^pi(ln(theta|cottheta|)dtheta)/theta].
(15)

Corless (1992) 表明

lnK=int_0^1(ln|_x^(-1)_|)/((x+1)ln2)dx,
(16)

對於 Lévy 常數，有一個類似的公式。

KhinchinsConstant2

實數 x，對於這些實數，lim_(n->infty)G_n(x)!=K 包括 x=e、sqrt(2)、sqrt(3) 和 黃金比例 phi，如上圖所示。

令人驚奇的是，常數 K 只是由下式定義的一類均值的極限情況 K=K_0

K_p=lim_(n->infty)((a_1^p+a_2^p+...+a_n^p)/n)^(1/p)
(17)

對於實數 p<1，其值由下式給出

K_p={sum_(k=1)^infty-k^plg[1-1/((k+1)^2)]}^(1/p)
(18)

(Ryll-Nardzewski 1951；Bailey等人 1997；Khinchin 1997)。K_p 的積分表示由下式給出

K_p=[1/(ln2)int_0^1(|_1/t_|^p)/(t+1)dt]^(1/p)
(19)
=[1/(ln2)sum_(k=1)^(infty)k^pln(1+1/(k(k+2)))]^(1/p)
(20)

對於 p=-1、-2、... (Iosifescu 和 Kraaikamp 2002，第 231 頁)。

常數

K_(-1)=lim_(n->infty)n/(a_1^(-1)+a_2^(-1)+...+a_n^(-1))
(21)

有時被稱為Khinchin 調和平均數，並且是 p=-1 情況下的無限常數族，其中 K=K_0 和 K_(-1) 是前兩個成員。

根據第 k 個部分商 q_k 定義以下量

M(s,n,x)=(1/nsum_(k=1)^nq_k^s)^(1/s).
(22)

然後

lim_(n->infty)M(1,n,x)=infty
(23)

對於幾乎所有實數 x (Khintchine 1934, 1936, Knuth 1981, Finch 2003)，以及

M(1,n,x)∼O(lnn).
(24)

此外，對於 s<1，極限值

lim_(n->infty)M(s,n,x)=K(s)
(25)

存在並且是機率為 1 的常數 K(s) (Rockett 和 Szüsz 1992, Khinchin 1997)。

另請參閱

連分數, 收斂子, Gauss-Kuzmin-Wirsing 常數, Khinchin 常數近似, Khinchin 常數連分數, Khinchin 常數數字, Khinchin 調和平均數, Lévy 常數, Lochs' 常數, Lochs' 定理, 部分分母, 簡單連分數

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Constants/Khinchin/

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; 和 Crandall, R. E. "關於 Khintchine 常數。" Math. Comput. 66, 417-431, 1997.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. "實驗數學中的十個問題。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Corless, R. M. "連分數與混沌。" Amer. Math. Monthly 99, 203-215, 1992.Finch, S. R. "Khintchine-Lévy 常數。" §1.8 在 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 59-65, 2003.Gosper, R. W. "更簡單的 Khinchine [was: Re: my two cents]" math-fun@cs.arizona.edu 郵件列表。1996 年 6 月 25 日。Havil, J. Gamma: 探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 159, 2003.Iosifescu, M. 和 Kraaikamp, C. 連分數度量理論。 Amsterdam, Netherlands: Kluwer, 2002.Kac, M. 機率、分析和數論中的統計獨立性。 Providence, RI: Math. Assoc. Amer., 1959.Khinchin, A. Ya. "平均值。" §16 在 連分數。 New York: Dover, pp. 86-94, 1997.Khintchine, A. "Metrische Kettenbruchprobleme." Compositio Math. 1, 361-382, 1934.Khintchine, A. "Metrische Kettenbruchprobleme." Compositio Math. 2, 276-285, 1936.Knuth, D. E. 練習 24 在 計算機程式設計藝術，第 2 卷：半數值演算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 604, 1998.Le Lionnais, F. 卓越數。 Paris: Hermann, p. 46, 1983.Lehmer, D. H. "關於 Khintchine 的一個絕對常數的註釋。" Amer. Math. Monthly 46, 148-152, 1939.Lévy, P. "關於機率定律，取決於一個連分數的完全和不完全商。" Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.Lévy, P. "關於隨機選擇的數字的連分數展開。" Compositio Math. 3, 286-303, 1936. 重印於 Œuvres de Paul Lévy, Vol. 6. Paris: Gauthier-Villars, pp. 285-302, 1980.Phillipp, W. "數論中的一些度量定理。" Pacific J. Math. 20, 109-127, 1967.Rockett, A. M. 和 Szüsz, P. 連分數。 Singapore: World Scientific, 1992.Ryll-Nardzewski, C. "關於遍歷定理 (I,II)." Studia Math. 12, 65-79, 1951.Shanks, D. "註釋 MTE 164。" Math. Tables Aids Comput. 4, 28, 1950.Shanks, D. 和 Wrench, J. W. Jr. "Khintchine 常數。" Amer. Math. Monthly 66, 148-152, 1959.Sloane, N. J. A. 序列 A002210/M1564, A002211/M0118, A086702, A087491, A087492, A087493, A087494, A087495, A087496, A087497, A087498, A087499, 和 A087500 在 "整數序列線上百科全書" 中。Vardi, I. "Khinchin 常數。" §8.4 在 Mathematica 中的計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 163-171, 1991.Wrench, J. W. Jr. "Khinchin 常數的進一步評估。" Math. Comput. 14, 370-371, 1960.Wrench, J. W. Jr. 和 Shanks, D. "關於 Khintchine 常數和正則連分數的高效計算的問題。" Math. Comput. 20, 444-448, 1966.

在 上引用

Khinchin 常數

請引用為

Weisstein, Eric W. "Khinchin 常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/KhinchinsConstant.html

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