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萊維常數


對於幾乎所有數 x,一個數的第 n次方根等於第 分母 B_nn收斂項 A_n/B_n 趨於一個常數

lim_(n->infty)B_n^(1/n)=e^beta
(1)
=e^(pi^2/(12ln2))
(2)
=3.275823...
(3)

(OEIS A086702) 對於除了測度為零的集合 x 之外的所有數 (Lévy 1936, Lehmer 1939),其中

beta=(pi^2)/(12ln2)
(4)
=1.1865691104...
(5)

關於與此常數相關的術語和符號需要謹慎。大多數作者稱 e^beta 為“萊維常數”(例如,Le Lionnais 1983, p. 51; Sloane),而一些人(S. Plouffe)稱 beta 為“辛欽-萊維常數”。其他作者提到 e^beta (例如,Finch 2003, p. 60) 或 beta (例如,Wu 2008),但沒有明確命名所討論的表示式。

beta 的倒數得到另一個相關的常數,

beta^(-1)=(12ln2)/(pi^2)
(6)
=0.8427659...
(7)

(OEIS A089729)。

Corless (1992) 證明了

 beta=int_0^1(lnx^(-1))/((x+1)ln2)dx,
(8)

以及辛欽常數的類似公式。

萊維常數 e^beta洛克斯常數 L 的關係為

 beta=(ln10)/(2L)
(9)

 e^beta=10^(1/(2L)).
(10)
Khinchin-LevyConstant

上面的圖顯示了 π、sin1尤拉-馬歇羅尼常數 gammaCopeland-Erdős 常數 C 的連分數的首 500 項的 B_n^(1/n)。有趣的是,曲線的形狀幾乎與辛欽常數的相應曲線相同


另請參閱

連分數, 收斂項, 高斯-庫茲明-維爾辛常數, 辛欽常數, 洛克斯常數, 洛克斯定理

使用 探索

參考文獻

Corless, R. M. "連分數與混沌." Amer. Math. Monthly 99, 203-215, 1992.Finch, S. R. 數學常數. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 60 and 156, 2003.Le Lionnais, F. 卓越的數. Paris: Hermann, p. 51, 1983.Lehmer, D. H. "關於辛欽絕對常數的註記." Amer. Math. Monthly 46, 148-152, 1939.Lévy, P. "關於隨機選擇的數展開為連分數." Compositio Math. 3, 286-303, 1936. Reprinted in Œuvres de Paul Lévy, Vol. 6. Paris: Gauthier-Villars, pp. 285-302, 1980.Rockett, A. M. and Szüsz, P. "RadicalBox[{B, _, n}, n] 的辛欽-萊維定理." §5.9 in 連分數. New York: World Scientific, pp. 163-166, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A086702 and A089729 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wu. J. "與十進位制和連分數展開相關的迭代對數定律." Monatsh. f. Math. 153, 83-87, 2008.

請引用為

Weisstein, Eric W. “萊維常數。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/LevyConstant.html

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