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洛赫常數

對於實數 x in (0,1)，令 m 為連分數收斂項的項數，這些項需要表示 n 位小數的 x。然後 洛赫定理 指出，對於幾乎所有 x，

L=lim_(n->infty)m/n
(1)
=(6ln2ln10)/(pi^2)
(2)
=0.97027014...
(3)

(OEIS A086819; Lochs 1964)。這個數有時被稱為洛赫常數。

這個常數的倒數是

L^(-1)=(pi^2)/(6ln2ln10)
(4)
=1.03064083410...
(5)

(OEIS A062542; Finch 2003, 第 60 頁)。

洛赫常數與萊維常數 e^beta 相關，關係為

L=1/(2log_10(e^beta))
(6)
=(ln10)/(2beta).
(7)

在 Finch (2003, 第 546 頁和 596 頁) 的常數索引和表中，將量

3/4-(3ln2)/(pi^2)(3ln2-(24zeta^'(2))/(pi^2)+4gamma-2)-(6ln2)/(pi^2)(6/(pi^2)zeta^'(2)-1/2) =0.2173242870...
(8)

與 Porter 常數 相關的量稱為“洛赫常數”，儘管這種術語似乎是非標準的。

另請參閱

萊維常數, 洛赫定理, Porter 常數, 正規連分數

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參考文獻

參考文獻Bosma, W.; Dajani, K.; 和 Kraaikamp, C. “熵和計數正確位數。” Univ. Nijmegen Math. Report 9925, 1999.Finch, S. R. 數學常數。 英國劍橋: 劍橋大學出版社, 2003.Kintchine, A. "Zur metrischen Kettenbruchtheorie." Compos. Math. 3, 276-285, 1936.Kraaikamp, C. "A New Class of Continued Fraction Expansions." Acta Arith. 57, 1-39, 1991.Lévy, P. "Sur le developpement en fraction continue d'un nombre choisi au hasard." Compos. Math. 3, 286-303, 1936.Lochs, G. "Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch." Abh. Hamburg Univ. Math. Sem. 27, 142-144, 1964.Perron, O. Die Lehre von den Kettenbrüchen, 3. verb. und erweiterte Aufl. 德國斯圖加特: Teubner, 1954-57.Sloane, N. J. A. 序列 A062542 和 A086819 在 “整數序列線上百科全書” 中。

請引用為

Weisstein, Eric W. “洛赫常數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LochsConstant.html

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