正規連分數

正規連分數是簡單連分數

其中 是一個 整數，而 是一個 正整數，對於 (Rockett and Szüsz 1992, p. 3)。

雖然正規連分數不是實數以整數序列形式表示的唯一可能方法（其他方法包括十進位制展開和Engel 展開），但它們是一種非常常見的表示方法，在數論中最為常見。Lochs 定理將正規連分數展開的效率與十進位制展開在表示實數方面的效率聯絡起來。

有限正規連分數表示在有限項後終止，因此對應於有理數。（Bach 和 Shallit (1996) 展示瞭如何根據有理數 的簡單連分數計算 Jacobi 符號。）另一方面，無限正規連分數表示唯一的無理數，並且每個無理數都有唯一的無限連分數。無限週期連分數具有許多特殊性質。

正規連分數也用於查詢不同週期事件之間的近似公度性。例如，希臘人用於曆法目的的默冬週期由 235 個朔望月組成，這非常接近 19 個太陽年，而 235/19 是朔望月（合朔）週期和太陽年週期（365.2425/29.53059）之比的第六個收斂項。正規連分數也可用於計算齒輪比，古希臘人也為此目的使用它們 (Guy 1990)。

透過給定的收斂項近似一個數的誤差，大約是第一個被忽略項的分母的平方的倒數。

拉格朗日連分數定理指出，二次無理數具有最終週期連分數。例如，畢達哥拉斯常數 的連分數為 [1; 2, 2, 2, 2, ...]。因此，如果懷疑數值常數表示未知的二次無理數，則有時可以推斷出其精確表示。

在某種意義上，正規連分數提供了一系列無理數的“最佳”估計。函式也可以寫成（簡單或廣義）連分數，從而提供一系列越來越好的有理逼近。連分數也被證明在證明數字的某些性質（例如 e 和 (pi)）方面很有用。

從 開始正規連分數的索引，

是 的整數部分，其中 是向下取整函式，

是 的倒數的整數部分，

是餘數倒數的整數部分，依此類推。根據遞推關係寫出餘數

給出簡潔公式

量 稱為部分商，並且透過包含 項連分數獲得的量

稱為第 個收斂項。

例如，考慮計算 的連分數，由 給出。

令 的簡單連分數為 。那麼極限值幾乎總是 Khinchin 常數

(OEIS A002210)。

類似地，取第 個收斂項的分母 的第 次根，當 時幾乎總是給出 Lévy 常數

(OEIS A086702)。

對數 可以透過定義 , ... 和正整數 , ... 來計算，使得

等等。然後

既約分數 的幾何解釋包括一條穿過點陣的線，端點為 和 (Klein 1896, 1932; Steinhaus 1999, p. 40; Gardner 1984, pp. 210-211, Ball and Coxeter 1987, pp. 86-87; Davenport 1992)。這種解釋與最大公約數的類似解釋密切相關。它壓靠的樁 給出交替收斂項 ，而其他收斂項則從它壓靠的以 為初始端的樁獲得。上面的圖是關於 的，其收斂項為 0, 1, 2/3, 3/4, 5/7, ....

連分數可以用來表示任何多項式方程的正根。連分數也可以用來求解線性丟番圖方程和 Pell 方程。

Gosper 發明了一種演算法，用於使用連分數執行解析加法、減法、乘法和除法。它需要跟蹤八個整數，這些整數在概念上排列在立方體的多面體頂點上。雖然這種演算法尚未印刷出版，但 Vuillemin (1987) 和 Liardet 和 Stambul (1998) 構建了類似的演算法。

Gosper 的演算法用於計算 的連分數的 的連分數，由 Gosper (1972)、Knuth (1998, 練習 4.5.3.15, pp. 360 和 601) 和 Fowler (1999) 描述。（在 Knuth 解的第 9 行中， 應替換為 。）Gosper (1972) 和 Knuth (1981) 也提到了二元情況 。