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週期連分數

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週期連分數是一種連分數（通常是正則連分數），其項從某一點開始最終重複。重複項的最小數目稱為連分數的週期。所有非平凡的週期連分數都表示無理數。一般來說，一個無限簡單連分數（週期性的或非週期性的）表示一個唯一的無理數，並且每個無理數都有一個唯一的無限連分數。

一個無平方因子的整數的平方根具有以下形式的週期連分數

sqrt(n)=[a_0;a_1,a_2,a_3,...,a_2,a_1,2a_0^_]
(1)

(Rose 1994, p. 130)，其中重複部分（不包括最後一項）在反轉後是對稱的，並且中心項可能出現一次或兩次。

如果 D 不是平方數，那麼 sqrt(n) 的連分數的項滿足

0<a_k<2sqrt(n).
(2)

一個更強的結論是，一個連分數是週期性的當且僅當它是二次多項式的根。將一個數 x 在給定收斂項後剩餘的部分稱為“尾部”，那麼數 x 與其尾部項之間的關係必然是以下形式

x=(ax+b)/(cx+d),
(3)

這隻能導致一個二次方程。

PeriodicContinuedFractionPeriods

前幾個非平方整數 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, ... 的平方根的連分數的週期是 1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 5, ... (OEIS A000037) (OEIS A013943; Williams 1981, Jacobson et al. 1995)。這些數字及其連分數表示在下表中進行了總結。

Nalpha_(sqrt(N))Nalpha_(sqrt(N))
2[1,2^_]22[4,1,2,4,2,1,8^_]
3[1,1,2^_]23[4,1,3,1,8^_]
5[2,4^_]24[4,1,8^_]
6[2,2,4^_]26[5,10^_]
7[2,1,1,1,4^_]27[5,5,10^_]
8[2,1,4^_]28[5,3,2,3,10^_]
10[3,6^_]29[5,2,1,1,2,10^_]
11[3,3,6^_]30[5,2,10^_]
12[3,2,6^_]31[5,1,1,3,5,3,1,1,10^_]
13[3,1,1,1,1,6^_]32[5,1,1,1,10^_]
14[3,1,2,1,6^_]33[5,1,2,1,10^_]
15[3,1,6^_]34[5,1,4,1,10^_]
17[4,8^_]35[5,1,10^_]
18[4,4,8^_]37[6,12^_]
19[4,2,1,3,1,2,8^_]38[6,6,12^_]
20[4,2,8^_]39[6,4,12^_]
21[4,1,1,2,1,1,8^_]40[6,3,12^_]

週期的長度的上限大約是 O(lnDsqrt(D))。使得 sqrt(n) 的連分數的週期為 p=1, 2, ... 的最小正整數 n 是 2, 3, 41, 7, 13, 19, 58, 31, 106, ... (OEIS A013646)。對於較小的 p，使得 sqrt(n) 的連分數的週期為 p 的前幾個 n 值總結如下。

pOEISn
1A0025222, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, ...
2A0136423, 6, 8, 11, 12, 15, 18, 20, 24, 27, ...
3A01364341, 130, 269, 370, 458, ...
4A0136447, 14, 23, 28, 32, 33, 34, 47, 55, 60, ...
5A01033713, 29, 53, 74, 85, 89, 125, 173, 185, 218, ...
6A02034719, 21, 22, 45, 52, 54, 57, 59, 70, 77, ...
7A01033858, 73, 202, 250, 274, 314, 349, 425, ...
8A02034831, 44, 69, 71, 91, 92, 108, 135, 153, 158, ...
9A010339106, 113, 137, 149, 265, 389, 493, ...
10A02034943, 67, 86, 93, 115, 116, 118, 129, 154, 159, ...

使得 sqrt(n) 的連分數的週期增加的 n 值是 1, 2, 3, 7, 13, 19, 31, 43, 46, 94, 139, 151, 166, 211, 331, 421, 526, 571, ... (OEIS A013645)。

週期連分數的一般恆等式包括

[a^_]=(a+sqrt(a^2+4))/2
(4)
[1,a^_]=(2-a+sqrt(a^2+4))/2
(5)
[a,2a^_]=sqrt(a^2+1)
(6)
[a,b^_]=(-ab+sqrt(ab(ab+4)))/(2a)
(7)
[a_1,...,a_n^_]=(-(q_(n-1)-p_n)+sqrt((q_(n-1)-p_n)^2+4q_np_(n-1)))/(2q_n)
(8)
[a_0,b_1,...,b_n^_]=a_0+1/([b_1,...,b_n^_])
(9)
[b_1,...,b_n^_]=([b_1,...,b_n^_]p_n+p_(n-1))/([b_1,...,b_n^_]q_n+q_(n-1))
(10)

(Wall 1948, pp. 39 and 83)。

第一個恆等式由以下公式得出

alpha=a+1/(a+1/(a+1/(a+...)))
(11)
=a+1/(a+(1/(a+1/(a+...)))).
(12)

因此，

alpha-a=1/(a+1/(a+1/(a+...))),
(13)

因此，將 (13) 代入 (12) 得到

alpha=a+1/(a+(alpha-a))=a+1/alpha.
(14)

展開

alpha^2-aalpha-1=0,
(15)

並使用二次公式求解得到

alpha=(a+sqrt(a^2+4))/2.
(16)

在一般情況下，這種處理的類比給出

alpha=(alphap_n+p_(n-1))/(alphaq_n+q_(n-1)).
(17)

另請參閱

連分數, 收斂項, 近似貴族數, 貴族數, 二次無理數, 簡單連分數

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參考文獻

Liberman, H. 簡單連分數：從基礎到研究水平的方法。 SMD Stock Analysts, 2003.Rose, H. E. 數論教程，第二版。 Oxford, England: Oxford University Press, 1994.Rosen, K. H. 初等數論及其應用。 New York: Addison-Wesley, p. 426, 1980.Sloane, N. J. A. 序列 A010337, A010338, A010339, A013642, A013643, A013644, A013645, A013646, A020347, A020348, 和 A020349 在 “整數序列線上百科全書” 中。Wall, H. S. 連分數的解析理論。 New York: Chelsea, 1948.

在 上被引用

週期連分數

請引用為

Weisstein, Eric W. “週期連分數。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PeriodicContinuedFraction.html

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