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皮爾斯展開

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實數 0<x<1 的皮爾斯展開，或交錯埃及乘積，是正整數 {a_1,a_2,...} 的唯一遞增序列 a_i 使得

x=1/(a_1)-1/(a_1a_2)+1/(a_1a_2a_3)-....
(1)

一個數 0<x<1 具有有限皮爾斯展開 當且僅當 當且僅當 x 是 有理數。

特殊情況總結在下表中。

xOEIS皮爾斯展開
2^(-1/2)A0918311, 3, 8, 33, 35, 39201, 39203, 60245508192801, ...
卡塔蘭常數 KA1322011, 11, 13, 59, 582, 12285, 127893, 654577, ...
cos1A1182391, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, 240, ...
e^(-1)A0207252, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
尤拉-馬歇羅尼常數 gammaA0062841, 2, 6, 13, 21, 24, 225, 615, 17450, ...
自然對數 2 ln2A0918461, 3, 12, 21, 51, 57, 73, 85, 96, ...
phi^(-1)A1182421, 2, 4, 17, 19, 5777, 5779, 192900153617, ...
pi^(-1)A0062833, 22, 118, 383, 571, 635, 70529, ...
sech11, 2, 3, 8, 9, 24, 37, 85, ...
sin1A0683771, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, 272, ...

如果 x 具有以下形式

x=(c-sqrt(c^2-4))/2,
(2)

那麼皮爾斯展開有一個閉合形式，由下式給出

x={c_0-1,c_0+1,c_1-1,c_1+1,c_2-1,c_2+1,...},
(3)

其中

c_0=c
(4)
=(1+x^2)/x
(5)

且 c_(k+1)=c_k^3-3c_k (Shallit 1984)。這個遞推關係有顯式解

c_k^((c))=-2cos[3^kcos^(-1)(-1/2c)]
(6)

Shallit (1984) 未指出。

c=3，對應於 x=(3-sqrt(5))/2，具有特別優美的形式

c_n^((3))=-2cos[3^ncos^(-1)(-3/2)]
(7)
=2F_(2·3^n+1)-F_(2·3^n),
(8)

其中 F_n 是一個 斐波那契數。

下表給出了對於一些小整數 c 的係數 c_k 和 a_k。

cxOEIS{c_k}OEIS{a_k}
31/2(3-sqrt(5))A0019993, 18, 5778, 192900153618, ...A0062762, 4, 17, 19, 5777, 5779, ...
42-sqrt(3)4, 52, 140452, 2770663499604052, ...3, 5, 51, 53, 140451, 140453, ...
51/2(5-sqrt(21))5, 110, 1330670, 2356194280407770990, ...4, 6, 109, 111, 1330669, 1330671, ...
63-2sqrt(2)A1128456, 198, 7761798, 467613464999866416198, ...A0062755, 5, 7, 197, 199, 7761797, ...

另請參閱

恩格爾展開

使用 探索

參考文獻

Erdős, P. and Shallit, J. O. "有限皮爾斯和恩格爾級數長度的新界限。" Sem. Theor. Nombres Bordeaux 3, 43-53, 1991.Keselj, V. "有限皮爾斯級數的長度：理論分析和數值計算。" Sep. 10, 1996. http://www.cs.uwaterloo.ca/research/tr/1996/21/cs-96-21.pdf.Mays, M. E. "迭代除法演算法。" Fib. Quart. 25, 204-213, 1987.Pierce, T. A. "關於一種演算法及其在逼近多項式根中的應用。" Amer. Math. Monthly 36, 523-525, 1929.Salzer, H. E. "將數近似為倒數之和。" Amer. Math. Monthly 54, 135-142, 1947.Shallit, J. O. "一些可預測的皮爾斯展開。" Fib. Quart. 22, 332-335, 1984.Shallit, J. O. "皮爾斯展開的度量理論。" Fib. Quart. 24, 22-40, 1986.Sloane, N. J. A. 序列 A001999/M3055, A006275/M1342, A006283/M3092, A006284/M1593, A006276/M1298, A020725, A091831, A091846, A112845, A118242, 和 A132201 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中被引用

皮爾斯展開

請引用為

Weisstein, Eric W. "皮爾斯展開。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/PierceExpansion.html

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