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拉馬努金 phi 函式


雙引數拉馬努金函式定義為

phi(a,n)=1+2sum_(k=1)^(n)1/((ak)^3-ak)
(1)
=1-1/a(H_(-1/a)+H_(1/a)+2H_n-H_(n-1/a)-H_(n+1/a)).
(2)

單引數函式 phi(a) 然後定義為 phi(a,n)n->infty 時的極限和,

phi(a)=lim_(n->infty)phi(a,n)
(3)
=1+2sum_(k=1)^(infty)1/((ak)^3-ak)
(4)
=-1/a[psi_0(1/a)+psi_0(1-1/a)+2gamma]
(5)
=1-1/a(H_(-1/a)+H_(1/a)),
(6)

其中 psi_0(x)digamma 函式gamma尤拉-馬歇羅尼常數,而 H_nu 是一個 調和數phi(n)n=2, 3, ... 的值為

phi(2)=2ln2
(7)
phi(3)=ln3
(8)
phi(4)=3/2ln2
(9)
phi(5)=1/5sqrt(5)lnphi+1/2ln5
(10)
phi(6)=1/2ln3+2/3ln2,
(11)

其中 phi黃金比例


另請參閱

調和數, 拉馬努金 g- 和 G-函式, 拉馬努金 Theta 函式, Tau 函式

使用 探索

引用為

Weisstein, Eric W. “拉馬努金 phi 函式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/RamanujanPhi-Function.html

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