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格爾尼茨-戈登恆等式

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第一個格爾尼茨-戈登恆等式指出，將 n 分拆為各個部分之間的最小差至少為 2，且偶數部分之間的最小差至少為 4 的分拆數，等於將 n 分拆為模 8 餘 1、4 或 7 的部分的分拆數。例如，取 n=7，得到的兩組分拆為 {(7),(6,1),(5,2)} 和 {(7),(4,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1)}。

第二個格爾尼茨-戈登恆等式指出，將 n 分拆為各個部分之間的最小差至少為 2，偶數部分之間的最小差至少為 4，且所有部分都大於 2 的分拆數，等於將 n 分拆為模 8 餘 3、4 或 5 的部分的分拆數。例如，取 n=11，得到的兩組分拆為 {(11),(8,3),(7,4)} 和 {(11),(5,3,3),(4,4,3)}。

格爾尼茨-戈登恆等式歸功於 H. 格爾尼茨，幷包含在他 1961 年未發表的榮譽學士論文中。然而，基本上沒有人知道這些結果，直到戈登 (1965) 獨立地重新發現了它們。

格爾尼茨-戈登分拆恆等式的解析對應物是 q-級數 恆等式

sum_(n=0)^infty(q^(n^2)(-q;q^2)_n)/((q^2;q^2)_n)=1/((q;q^8)_infty(q^4;q^8)_infty(q^7;q^8)_infty) =1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+2q^6+3q^7+4q^8+5q^9+... sum_(n=0)^infty(q^(n(n+2))(-q;q^2)_n)/((q^2;q^2)_n)=1/((q^3;q^8)_infty(q^4;q^8)_infty(q^5;q^8)_infty) =1+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+2q^8+2q^9+2q^(10)+...

(OEIS A036016 和 A036015)，其中 (a;q)_n 表示一個 q-級數，係數給出了滿足相應格爾尼茨-戈登恆等式的分拆數。

這些解析恆等式由 Slater (1952) 發表，並且比分拆定理早十年。方程 (◇) 在 Slater 的列表中是第 36 號，方程 (◇) 是第 34 號。然而，最近 A. 西爾斯發現，拉馬努金在他的遺失筆記本中記錄了兩個與解析格爾尼茨-戈登恆等式等價的解析恆等式，因此拉馬努金在 Slater 重新發現它們之前 30 多年就知道了這些恆等式 (Andrews and Berndt 2008, 第 37 頁)！

另請參閱

安德魯斯-戈登恆等式, 格爾尼茨定理, 羅傑斯-拉馬努金恆等式

此條目部分內容由 Andrew Sills 貢獻

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參考文獻

Andrews, G. E. 關於廣義羅傑斯-拉馬努金定理。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.Andrews, G. E. 分拆理論。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 114, 1998.Andrews, G. E. 和 Berndt, B. C. 拉馬努金的遺失筆記本，第二部分。 New York: Springer, 2008.Göllnitz, H. "Partitionen mit Differenzenbedingungen." J. reine angew. Math. 225, 154-190, 1967.Gordon, B. "Some Continued Fractions of the Rogers-Ramanujan Type." Duke Math. J. 32, 741-748, 1965.Gordon, B. 和 McIntosh, R. J. "Some Eighth Order Mock Theta Functions." J. London Math. Soc. 62, 321-335, 2000.Mc Laughlin, J.; Sills, A. V.; 和 Zimmer, P. "Dynamic Survey DS15: Rogers-Ramanujan-Slater Type Identities." Electronic J. Combinatorics, DS15, 1-59, May 31, 2008. http://www.combinatorics.org/Surveys/ds15.pdf.Selberg, A. "Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung." Arch. Math. og Naturvidenskab 41, 3-15, 1938.Slater, L. J. "Further Identities of the Rogers-Ramanujan Type." Proc. London Math. Soc. Ser. 2 54, 147-167, 1952.Sloane, N. J. A. Sequences A036015 and A036016 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

格爾尼茨-戈登恆等式

請引用為

Sills, Andrew 和 Weisstein, Eric W. "格爾尼茨-戈登恆等式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Goellnitz-GordonIdentities.html

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