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Andrews-Schur 恆等式

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Andrews-Schur 恆等式指出

sum_(k=0)^nq^(k^2+ak)[2n-k+a; k]_q =sum_(k=-infty)^inftyq^(10k^2+(4a-1)k)[2n+2a+2; n-5k]_q([10k+2a+2]_q)/([2n+2a+2]_q)
(1)

其中 [n; m]_q 是一個 q-二項式係數，並且 [n]_q 是一個 q-括號。 這是一個 多項式 恆等式，適用於 a=0, 1，這意味著透過取 n->infty 並應用 Jacobi 三重積 恆等式，可以得到 Rogers-Ramanujan 恆等式。

當 n->infty 時，公式 (1) 中恆等式的極限是

1/((q^(4-a);q^5)_infty(q^(a+1);q^5)_infty).
(2)

該恆等式的一個變體是

sum_(k=-|_a/2_|)^nq^(k^2+2ak)[n+k+a; n-k]_q =sum_(-|_(n+2a+2)/5_|)^(|_n/5_|)q^(15k^2+(6a+1)k)[2n+2a+2; n-5k]_q([10k+2a+2]_q)/([2n+2a+2]_q),
(3)

其中，求和 限中的符號 |_x_| 是 向下取整函式 (Paule 1994)。 一個相關的恆等式由下式給出

sum_(k=0)^infty(q^(k^2+2ak))/((q;q)_(2k+a))=product_(j=0)^infty1/((1-q^(2j+1))(1-q^(20j+4a+4))(1-q^(20j-4a+16)))
(4)

對於 a=0, 1 (Paule 1994)。 對於 q=1，公式 (3) 變為

sum_(k=-|_a/2_|)^n(n+k+a; n-k)=sum_(k=-|_(n+2a+2)/5_|)^(|_n/5_|)(2n+2a+2; n-5k)(5k+a+1)/(n+a+1).
(5)

另請參閱

Rogers-Ramanujan 恆等式

使用 探索

參考文獻

Andrews, G. E. "一個蘊含 Rogers-Ramanujan 恆等式的多項式恆等式。" Scripta Math. 28, 297-305, 1970.Paule, P. "Rogers-Ramanujan 恆等式和類似型別恆等式的簡短而輕鬆的計算機證明。" Electronic J. Combinatorics 1, 第 1 期, R10, 1-9, 1994. http://www.combinatorics.org/Volume_1/Abstracts/v1i1r10.html.

在 上被引用

Andrews-Schur 恆等式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Andrews-Schur 恆等式。" 來自 --一個 Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Andrews-SchurIdentity.html

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