閉合形式解

如果一個方程可以用來自一個普遍接受的集合中的函式和數學運算來解決給定的問題，那麼它就被稱為閉合形式解。例如，無限求和通常不被認為是閉合形式。然而，對於什麼稱為閉合形式，什麼不稱為閉合形式的選擇是相當隨意的，因為一個新的“閉合形式”函式可以簡單地根據無限求和來定義。

由於上述定義的缺乏具體性，數學的不同分支經常採用更精確的閉合形式術語的含義，以應用於其中的概念。例如，在微分代數中，如果一個函式包含在某個所謂的劉維爾擴張域（Liouvillian extension field）中，並且該域是域 的擴張域，那麼該函式就被稱為閉合形式的。也就是說，如果它們是透過對指數函式、不定積分和代數函式的有限序列的鄰接從有理函式獲得的（Churchill and Kovacic 2006）。這些函式也被稱為劉維爾函式（Liouvillian）（儘管不要與劉維爾函式（Liouville function）混淆），以及更不幸的術語“初等函式”。

值得注意的是，形容詞“閉合”用於描述許多數學概念，例如，閉合形式的概念。 粗略地說，如果一個離散函式與超幾何函式共享某些基本屬性，那麼它就是閉合形式的，超幾何函式本身被定義為所謂的超幾何微分方程的解。這種特殊的閉合性概念與上面討論的閉合形式表示式的概念完全不同。 特別是，超幾何函式（以及因此，任何繼承其屬性的閉合形式函式）被認為是“特殊函式”，並且不能用通常被視為“初等”的運算來表示。 更重要的是，某些公認的真理，例如五次方程不可解，如果將考慮範圍擴充套件到包括超幾何函式的一類函式，則不再成立，這是克萊因（Klein，1877）得出的結果。